Раздел2.Аналитическая геометрия.

32)Смешанное произведение векторов в декартовом базисе.

Если взять вектор а и умножить его векторно на вектор в, а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор с , то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов а,в,с называется скалярное произведение вектора ахв на вектор с. Смешанное произведение векторов обозначается так

(а*в)с=авс.

34)Векторное уравнение плоскости.

n*(r-r0)=0

36)Уравнение плоскости в «отрезках на осях».Геометрический смысл коэффицентов.

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

38)Условие совпадения 2-х плоскостей.

Если плоскости р1 и р2 , заданные уравнениями

А1х + B1y + C1z + D1 = 0 и А2х + B2y + C2z + D2 = 0, (1)

имеют общую точку, то ее координаты удовлетворяют каждому из уравнений (1). Поэтому для нахождения общих точек данных плоскостей нужно решить систему уравнений

т. е. систему двух уравнений с тремя неизвестными. При выполнении условия

система (2) решений не имеет. В самом деле, предположим противное.

Допустим, что (х0; у0, z0) — решение системы. Тогда, если

то из второго уравнения системы (2) получаем

А2х0 + B2у0 + C2z0 = — D2, а из первого k (А2х0 + B2у0 + C2z0) = — D1

и, следовательно, что противоречит уеловию (3). Мы знаем, что условие есть условие параллельности плоскостей. Таким образом, при выполнении условия (3) плоскости р1 и р2 параллельны и не совпадают.

40)Условие ортогональности 2-х плоскостей.

Плоскости α и β ортогональны, если одна плоскость проходит через перпендикуляр другой плоскости.

42)Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространстве.

44)Векторное уравнение прямой в пространстве.

46)Взаимное расположение прямой на плоскости.

Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде: Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12):

1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются;

2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны;

3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

48)Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.