Раздел 3. Статистическая проверка гипотез.

Часть 1. Параметрические критерии проверки гипотез.

§1. Проверка гипотезы однородности математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

№43. Две независимые выборки объемами n = 40 и m = 50 извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y соответственно. По выборочным данным найдены средние значения: и . Дисперсии генеральных совокупностей известны: D(X) = 80, D(Y) = 100. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей X и Y.

№44. По выборке объема n = 30 найден средний рост см учеников 2-х классов школы №1, по выборке объема m = 40 найден средний рост см учеников 2-х классов школы №2. Соответствующие генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны: D(X) = 60 см², D(Y) = 80 см². На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о том, что средний рост второклассников обеих школ различается незначимо.

№45. По выборке объема n = 50 найдено среднее время реакции с в тесте на внимание, проведенном с учениками 5-х классов школы №1, по выборке объема m = 50 найдено среднее время реакции с в тесте на внимание, проведенном с учениками 5-х классов школы №2. Соответствующие генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны: D(X) = 1,75 с², D(Y) = 1,375 с². На уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу о том, что среднее время реакции пятиклассников обеих школ различается незначимо.

№46. Пусть две независимые выборки учеников 6-х классов объемами n = 40 и m = 40 извлечены: первая – из 6^А и 6^Б «гимназических» классов, вторая – из 6^В и 6^Г классов некоторой школы. По выборочным данным найдены средние показатели успеваемости: и .Соответствующие генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны: D(X) = 22, D(Y) = 18. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о том, что средние показатели успеваемости «гимназических» и обычных классов различаются незначимо, если в противном случае есть основания предположить, что успеваемость «гимназических» классов выше, чем обычных.

№47. Две независимые выборки объемами n = 50 и m = 50 извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y соответственно. По выборочным данным найдены средние значения: и . Дисперсии генеральных совокупностей известны: D(X) = 22,8, D(Y) = 28,2. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей X и Y, если в противном случае есть основания предположить, что математическое ожидание первой генеральной совокупности меньше, чем второй.

§2. Проверка гипотезы однородности математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и равны.

№48. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 12 и m = 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние ; и несмещенные выборочные дисперсии и . На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей X и Y, если известно, что дисперсии генеральных совокупностей равны между собой.

№49. В двух школах для одаренных детей, имеющих примерно одинаковую программу подготовки, требуется провести тест на склонность к логическому мышлению. В школе №1 была сформирована выборка из 10 учеников, а в школе №2 – из 12 учеников. Для каждого ученика обеих выборок было измерено время решения логической головоломки в минутах и получены следующие результаты:

Время решения для учеников 1-й выборки, xi (мин.)	3,4	3,5	3,7	3,9
Частота появления времени, ni	2	3	4	1

Время решения для учеников 2-й выборки, yi (мин.)	3,2	3,4	3,6
Частота появления времени, mi	2	2	8

Предполагается, что соответствующие генеральные совокупности X и Y распределены нормально. На уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу о том, что среднее время решения логической головоломки в обеих выборках различается незначимо.

№50. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 10 и m = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние ; и несмещенные выборочные дисперсии и . На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей X и Y, если в противном случае есть основания предположить, что математическое ожидание первой генеральной совокупности меньше, чем второй, а также известно, что дисперсии генеральных совокупностей равны между собой.

№51. Из генеральных совокупностей X и Y, имеющих нормальной распределение, извлечены малые независимые выборки объемами n = 10 и m = 16:

xi	12,3	12,5	12,8	13,0	13,5
ni	1	2	4	2	1

yi	12,2	12,3	13,0
mi	6	8	2

На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей X и Y, если в противном случае есть основания предположить, что математическое ожидание первой генеральной совокупности больше, чем второй.

Указание. Предварительно проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей X и Y, причем альтернативная гипотеза должна быть того же типа, что и для математических ожиданий.