Раздел 2. Статистическое оценивание параметров распределения.
§1. Точечное оценивание параметров распределения.
№30. Имеются независимые наблюдения x1, x2, …, xn дискретной случайной величины ξ, подчиняющейся закону распределения вероятностей Пуассона, а именно:
(х=0, 1, 2, …),
где λ>0 – неизвестный параметр распределения. Требуется:
1) построить оценку методом моментов
для параметра λ;
2) построить оценку методом максимального
правдоподобия
для параметра λ;
3) сравнить оценки и , а также исследовать их на несмещенность и состоятельность.
№ 31. Дана случайная выборка x1, x2, …, xn значений непрерывной случайной величины ξ, подчиняющейся равномерному закону распределения с функцией плотности
где параметры a и b – неизвестны. Требуется:
1) построить оценки методом моментов
и
для параметров a и b;
2) построить оценки методом максимального
правдоподобия
и
для параметров a и b;
3) сравнить полученные оценки.
№32. Имеются независимые наблюдения x1, x2, …, xn непрерывной случайной величины ξ, подчиняющейся экспоненциальному закону распределения вероятностей с функцией плотности
где θ– неизвестный параметр распределения. Требуется:
1) построить оценку методом моментов
для параметра θ;
2) построить оценку методом максимального
правдоподобия
для параметра θ;
3) сравнить оценки и , а также исследовать их на несмещенность и состоятельность.
№33. Имеются независимые наблюдения x1, x2, …, xn дискретной случайной величины ξ, подчиняющейся биномиальному закону распределения вероятностей, а именно:
где р>0 – неизвестный параметр распределения. Требуется:
1) построить оценку методом моментов
для параметра р;
2) построить оценку методом максимального
правдоподобия
для параметра р;
3) сравнить оценки и , а также исследовать их на несмещенность.
№34. Из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение, сделана выборка объема n=41, дисперсия которой равна 3. Найти несмещенную точечную оценку дисперсии генеральной совокупности.
§2. Интервальное оценивание параметров распределения.
№35. Из генеральной совокупности Х извлечена выборка
xi |
-0,2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
ni |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания m генеральной совокупности.
№36. Из генеральной совокупности Х извлечена выборка
xi |
-0,4 |
-0,1 |
0 |
2 |
5 |
6 |
ni |
1 |
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
Найти с надежностью 0,98 доверительный интервал для математического ожидания m генеральной совокупности.
№37. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,96 математического ожидания а генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. Известно, что среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности равно 5, также из генеральной совокупности сделана выборка объема 25 со средним 14.
№38. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 математического ожидания а генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. Известно, что среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности равно 4, также из генеральной совокупности сделана выборка объема 16 со средним 10,2.
№39. Выборка из всех школьников 11-х классов некоторого города содержит 75 учащихся. Средний показатель коэффициента интеллекта школьника в выборке оказался равным 105. Найти с надежностью 0,94 доверительный интервал для среднего показателя коэффициента интеллекта всех школьников 11-х классов, если известно, что среднеквадратическое отклонение в методике на определение IQ берется равным 15, а соответствующая генеральная совокупность распределена нормально.
№40. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а нормальной генеральной совокупности по выборочному среднему будет равна 0,3, если среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности равно 1,2.
№41. Из генеральной совокупности Х извлечена выборка
xi |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
ni |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
3 |
Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для:
а) математического ожидания а генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение;
б) математического ожидания m генеральной совокупности, имеющей произвольное распределение.
№42. Из генеральной совокупности Х извлечена выборка
xi |
-0,3 |
0,2 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
ni |
3 |
2 |
5 |
1 |
4 |
Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для:
а) математического ожидания а генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение;
б) математического ожидания m генеральной совокупности, имеющей произвольное распределение.