Тема «Метод средний величин, вариационный анализ»
В сложных ситуациях один из самых эффективных способов «увидеть всю картину» заключается в обобщении, т.е. использовании одного или нескольких отобранных или рассчитанных значений для характеристики набора данных. Одна из целей статистики состоит в том, чтобы свести набор данных к одному числу (или двум, или нескольким), которое выражает наиболее фундаментальные свойства данных.
Простейшее обобщение любого набора данных представляет собой единственное число, которое наилучшим способом представляет все значения данных. Такое число можно было бы назвать типическим значением для данного набора данных. Если не все значения в наборе данных одинаковы, то мнения о «наиболее типическом» могут быть разными. Существует три вида такой обобщающей меры:
1. Среднее, которое можно вычислять только для имеющих содержательный смысл чисел (для количественных данных).
2. Медиана, или серединная точка, которую можно вычислять как для упорядоченных категорий (порядковые данные), так и для чисел.
3. Мода, или наиболее часто встречающаяся категория, которую можно вычислять для неупорядоченных категорий (для номинальных данных), для упорядоченных категорий и для чисел.
Средние величины
Средней величиной в статистике называется количественный показатель характерного, типичного уровня массовых однородных явлений, который складывается под воздействием общих причин и условий развития. В средней величине гасятся все отличия и особенности индивидуальных значений признаков, и она является «равнодействующей» значений этих признаков.
Исходное соотношение средней
ИСС= Суммарное значение или объем осредняемого признака
Число единиц или объем совокупности
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая.
Предположим, шесть торговых предприятий фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц.
Торговое предприятие |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Товарооборот(млн.руб.) |
38 |
25 |
41 |
27 |
19 |
29 |
Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на одно предприятие, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:
ИСС = Общий объем товарооборота (млн.руб.)
Число торговых центров
Общая формула средней арифметической будет иметь вида:
С учетом имеющихся данных получим:
Среднее является только обобщающей характеристикой, которая сохраняет общую сумму. Это свойство среднего особенно полезно в тех ситуациях, когда необходимо планировать общую сумму для большой группы. Сначала вычисляют среднее для меньшей выборки данных, представляющей большую группу. Затем полученное среднее можно умножить на количество отдельных элементов в этой большей группе. В результате получают оценку или прогноз суммы для большей по размеру совокупности.
Пример. Каждая партия изделий завода содержит 1000 изделий. Для проведения контроля качества изделий из произведенных за день 253 партий была взята случайным образом выборка, включающая 10 партий. Число бракованных изделий в каждой партии составило:
3, 8, 2, 5, 0, 7, 14, 7, 4, 1.
Среднее для этого набора данных: 51/10 = 5,1 демонстрирует, что в среднем каждая партия содержит 5,1 бракованных изделий. Если распространить полученное среднее на все выпущенные за день партии, то можно ожидать
5,1 * 253 =1290,3 бракованных изделий в дневном выпуске продукции, который составляет 253000 изделий.
При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
Рассмотрим следующий пример.
Сделки по акциям эмитента «Х» за торговую сессию
Сделка |
Количество проданных акций, шт. |
Курс продажи, руб. |
1 |
700 |
420 |
2 |
200 |
440 |
3 |
950 |
410 |
Определим по данному дискретному вариационную ряду средний курс продажи акции:
ИСС= Общая сумма сделок (руб.)
Количество проданных акций (шт.)
Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:
Вывод. Использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.
При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример.
Распределение сотрудников предприятия по возрасту
Возраст (лет) |
Число сотрудников (чел.) |
До 25 |
8 |
25-30 |
32 |
30-40 |
68 |
40-50 |
49 |
50-60 |
21 |
60 и более |
3 |
Итого |
181 |
Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими: 22,5, 27,5; 35; 45; 55; 65.
Используя среднюю арифметическую взвешенную получим средний возраст работников данного предприятия.
Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использовать и другие виды средних.
Средняя гармоническая. Используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.
,
Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственных культур «Y» по районам области.
Район |
Валовой сбор, тыс.т |
Урожайность, ц/га |
А |
52 |
10 |
Б |
40 |
14 |
В |
31 |
15 |
Г |
67 |
8 |
ИСС= Общий валовой сбор (тыс.ц)
Общая посевная площадь (тыс.га)
Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по районам. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор каждого района на урожайность.
В данном случае расчет произведен по формуле средней гармонической.
Средняя гармоническая взвешенная.
, где
Последнее количественное соотношение соответствует формуле средней гармонической простой.
Видим, что в наличии отличие между результатами вычисления по формулам средней арифметической и средней гармонической.
Средняя геометрическая
Среднюю геометрическую применяют в тех случаях, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков. Этот вид средней используется для вычисления средних коэффициентов (темпов) роста в рядах динамики. Так, в случае одинаковых временных интервалов между n уровнями динамического ряда средняя геометрическая простая имеет вид:
,
где
- темп роста
m – количество темпов
роста (
)
Пример.
Допустим, что в результате инфляции потребительские цены за четыре года выросли в 2,8 раза, в т.ч.: за первый год в 1,7 раза, за второй – в 1,3 раза, за третий – в 1,1, за четвертый – в 1,15 раза. Как определить среднегодовой темп роста цен? Средняя арифметическая (1,7+1,3+1,1+1,15)/4=1,312 не обеспечивает заданного свойства, так как за четыре года по этой средней цене цены бы выросли в 1,312*1,312*1,312*1,312=2,94 раза, а не в 2,8 раза. Заданное свойство обеспечивает только средняя геометрическая
Медиана.
Значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, то есть делящее ряд распределения на две равные части.
В дискретном ряду распределения определяется номер медианы по формуле:
,
Номер медианы показывает то значение показателя, которое является медианой.
В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:
,
где xMe – нижняя граница медианного интервала;
iMe – величина медианного интервала;
fMe – частота медианного интервала;
SMe-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
∑ fi/2 – полусумма частот ряда.
Мода.
Величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, то есть имеющая наибольшую численность в ряду распределения.
В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода. Этот интервал называется модальным интервалом. Мода будет равна
,
где xMo – нижняя граница модального интервала;
iMo – величина модального интервала;
fMo – частота модального интервала;
fMo-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;
fMо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Пример 2.2.
Определите среднюю выработку одного рабочего за рабочую смену по следующим данным (продукция однотипная):
Выработка, шт. |
Число рабочих, чел. |
10 |
5 |
20 |
2 |
17 |
5 |
15 |
4 |
12 |
4 |
итого |
20 |
Средняя выработка одного рабочего = общий объем выработанной продукции /число рабочих.
В данном примере известны значения знаменателя, но не известны значения числителя, средняя арифметическая вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной
= (10*5+20*2+17*5+15*4+12*4)/(5+2+5+4+4)=14 шт.
Пример 2.3.
Определите среднюю себестоимость продукции предприятия по следующим данным
Виды продукции |
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Общие затраты на производство продукции, тыс.руб. |
1 |
142,9 |
100,0 |
2 |
150,0 |
120,0 |
3 |
130,0 |
130,0 |
Средняя себестоимость единицы продукции = общая сумма затрат/количество произведенной продукции.
= (100+120+130)/(100/142,9+120/150+130/130)=140 руб.
Пример 2.4.
По следующим данным о распределении 100 рабочих цеха по дневной выработке однотипных изделий определите моду и медиану.
Дневная выработка, шт. |
50-54 |
54-58 |
58-62 |
62-66 |
66-70 |
Число рабочих, чел. |
10 |
20 |
40 |
15 |
15 |
Определим моду
= 58+4 *(40-20)/((40-20)+(40-15))= 60 шт.
Определим медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма накопленных частот меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности – больше половины.
Подсчитаем накопленные итоги частот: 10,30,70,85,100. Середина накопленных частот 100/2=50. Сумма первых двух меньше половины (30<50), а если прибавить 40 – больше половины численности совокупности (70>50). Следовательно, медианным является интервал 58-62. Определим медиану:
= 58+4* (100/2-30)/40 = 60 шт.
Итак, 50% рабочих вырабатывают в день меньше 60 изделий, а остальные 50% - более 60 изделий.