1.7. Анализ простейшего электромеханического преобразователя.

Рассмотрим простейший магнитоэлектрический преобразователь, имеющий одну степень механической н электрической свободы, в качестве которого может быть приведен линейный исполнительный двигатель, применяемый в системе позиционирования в накопителях на жестких дисках СМ-ЭВМ.

Его динамика описывается двумя уравнениями:

Модель такого преобразователя приведена на и.

Обозначив и, получим эти уравнения в операторной форме:

Перейдя к изображениям, получим следующие уравнения:

По этим уравнениям можно получить структурную схему согласно , по которой можно получить передаточную функцию

где ;;

Рис. 1-8. Структурная схема электромеханического преобразователя.

Перейдя обратно во временную область, можно получить уравнение "вход-выход"

, где

Для перехода к уравнениям состояния представим уравнение вход-выход в скобочной форме

Введем новые координаты, соответствующие перемещенным в квадратных скобках и получим дифференциально-алгебраическую систему (слева) и ее преобразованную форму (справа)

Этим уравнениям соответствует структура, показанная на .

Рис. 1-9. Структурная схема преобразователя в пространстве состояния.

При переходе к уравнениям состояния получим x`=A·x+B·u;h=C·x+D·u,

где u=U;;;;;D=0.

При достаточно малом периоде квантования Т по сравнению с инерционностью системы ее можно представить как дискретную (по времени) с дискретной передаточной функцией

Произведя необходимые преобразования, получим

где ;;B₁=B₂=3·B₀;B₃=B₀.

Обозначим h`=h·K₀^-1.Тогда из выраженияполучим разностное уравнение "вход-выход":

Этому уравнению соответствует структура рекурсивного фильтра, представленная на .

Рис. 1-10а. Структурная схема преобразователя в виде рекурсивного фильтра.

Используя, например, прямое программирование, можно моделировать систему на ЭВМ, вычисляя значения выходной величины h(n) по шагам. Скажем, переходную функцию при ступенчатом воздействии

U(n)=Uприn>0 (см.)

Рис. 1-10б. Выход преобразователя при ступенчатом воздействии.

и.т.д.

От разностного уравнения вход-выход можно перейти к уравнениям состояния и представить систему в виде дискретного автомата с памятью

;

• X(n) - вектор состояния автомата в данный дискретный момент времени,

• X(n+1) - вектор состояния в следующий наблюдаемый момент через промежуток времени Т,

• B- матрица входного преобразования,

• A- матрица, реализующая функцию переходов,

• C- матрица, соответствующая функции выходов.

Частотная характеристика системы

В этом случае, если характеристическое уравнение имеет вещественные отрицательные корни, получим

где T₁·T₂·T₃=a₀;T₁·T₂+T₁·T₃+T₂·T₃=a₁;T₁+T₂+T₃=a₂, а корниα₁=-T₁^-1;α₂=-T₂^-1;α₃=-T₃^-1.

Тогда амплитудная частотная характеристика будет (см.)

Рис. 1-11. Частотная характеристика электромеханического преобразователя.

1.8. Упражнения и контрольные вопросы к главе 1.

1. Перечислите основные механические аналогии, дополнив колонки 1 и 2 таблицы 1-1 размерностями представленных в них физических величин.

2. Выведите уравнения динамики простейших механической и электромеханической систем из уравнений Лагранжа-Максвелла. Нарисуйте схемы, соответствующие этим уравнениям.

3. Перечислите основные типы электромеханических преобразователей и приведите примеры этих преобразователей.

4. Выведите передаточную функцию и нарисуйте структурную схему линейного двигателя без пружины и без трения.

5. По полученной в п.4 передаточной функции выведите выражение для частотной характеристики двигателя и постройте ее, задавшись численными значениями параметров двигателя (например, Тэ=10 мс, m=50 г, Кэм=0,05 Вс).