- •Часть 1
- •Криволинейный интеграл второго рода
- •Связь криволинейных интегралов первого и второго родов. Специфическое свойство интеграла второго рода
- •Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода
- •40. Формула грина
- •50. Поверхностный интеграл 2-го рода
- •60.Вычисление поверхностных интегралов
- •70. Формулы остроградского и стокса
- •70. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •90. Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •Часть 2
- •10. Поток векторного поля
- •20.Поток вектора через замкнутую поверхность. Дивергенция векторного поля.
- •30. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля.
- •40. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса.
- •50. Некоторые типы векторных полей.
- •60. Оператор Гамильтона.
60. Оператор Гамильтона.
Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной форме с помощью символического оператора Гамильтона «набла»:
( формальное умножение на функцию будем понимать как дифференцирование
1). Если – скалярная дифференцируемая функция, то
.
2). Если где - дифференцируемые функции, то
3). Если то
В результате двукратного применения к полям оператора получаем дифференцируемые операции второго порядка. Если задано скалярное поле , то оператор порождает в нем векторное поле . В векторном поле оператор , примененный повторно к , дает:
а) скалярное поле (2.10)
б) векторное поле (2.11)
Если задано векторное поле то оператор порождает в нем:
скалярное поле , в этом скалярном поле порождает векторное поле
; (2.12)
векторное поле , в этом векторном поле порождает:
а) скалярное поле (2.13)
б) векторное поле (2.14)
Формулы (2.10)-(2.14) определяют дифференциальные операции второго порядка;
Если имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то (2.11)
Действительно,
,
т.к. смешанные производные равны.
Аналогично, если причем имеют непрерывные частные производные второго порядка, то (2.13):
Рассмотрим теперь (2.10) , предполагая, что имеет частные производные второго порядка по
Здесь символ называется оператором Лапласа.
.