30. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля.

Линейным интегралом от векторного вдоль кривой называется криволинейный интеграл

(2.5)

В том случае, когда вектор является вектором силы (поле является силовым полем), линейный интеграл (2.5) дает величину рабрты этого поля вдоль линии (см. 1⁰ ч. 1).

Пример 6.

В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила . Вычислить работу силы при перемещении точки из начала координат в точку

1) по прямой

2) по параболе

3) по ломаной

Решение: Решение:

Работа переменной силы вдоль

криволинейного участка пути

определяется по формуле:

1. из в

2. 

3. : два звена ломаной . Уравнения звеньев ломаной

Следовательно, работа вдоль . Если контур замкнутый, то линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля вдоль контура .

40. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса.

Пусть имеем поле вектора

Будем предполагать, что функция непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам.

Ротором вектора называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством

(2.6)

Для заполнения этой формулы удобно ввести символическую форму

(2.6¹)

Этот определитель раскрывается по элементам первой строки, операцию умножения элементов второй строки на элементы третьей, понимают как операцию дифференцирования ( например,

Пример 7.

Пусть задано поле вектора

Определить в произвольной точке.

Пример 8.

Рассмотрим произвольное движение твердого тела. Из кинематики известно, если фиксировать в нем точку , то для любого момента времени поле скоростей точек тела определяется следующей формулой

где - скорость точки ,

- мгновенная угловая скорость,

- радиус-вектор, соединяющий точку с любой точкой тела .

Возьмем некоторую систему координат,

начало которой совпадает с точкой .

Найдем .

(*).

Где – проекции вектора на оси координат. Исходя из формулы

найдем

где – проекция вектора (или координаты точки M), - координаты вектора , откуда

Дифференцируя эти равенства, получим

Подставим эти значения частных производных в формулу (*) :

Таким образом, rot совпадает с (удвоенный вектор угловой скорости).

Физический смысл вихря.

Пусть - произвольное направление, проходящее через точку и - произвольная малая плоская площадка, проходящая через точку нормально и ( - граница ). Применим формулу Стокса

Воспользуемся теоремой о среднем :

где – некоторая точка площадки .

Если то

Переходя к пределу, получим значение проекции в точке на произвольное направление

Формула Стокса в векторной форме имеет вид

(2.7)

т.е. циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку ротора через эту поверхность.

Пример 9.

Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности

используя формулу Стокса. Взять в качестве поверхности полусферу . Интегрирование по окружности в плоскости ведется против часовой стрелки.

Решение.

По формуле Стокса

Определим

Определим координаты нормали тогда

Учитывая положительный обход окружности, делаем вывод, что нормаль к поверхности полусферы образует острый угол с осью . Перейдем от поверхности интеграла к двойному по области, ограниченной заданной окружностью