70. Формулы остроградского и стокса

Приведем без доказательства две формулы.

Пусть замкнутая поверхность ограничивает некоторую область . Пусть далее в области задана векторная функция , где – непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула:

(1.9)

Эта формула называется формулой Остроградского. Она устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью.

Пусть часть поверхности ограничена замкнутым контуром . Пусть на задана векторная функция , где – непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда справедлива формула:

(1.10)

Эта формула называется формулой Стокса. Она устанавливает связь между криволинейным интегралом по пространственной замкнутой кривой и поверхностным интегралом по поверхности , натянутой на контур . Следует отметить, что ранее доказанная формула Грина является частным случаем формулы Стокса, если

Пример 13.

Вычислить где – внешняя сторона поверхности замкнутого цилиндра, ограниченного поверхностями

В ыпишем уравнения всех поверхностей:

Представим данный интеграл в виде суммы трех интегралов, каждый из которых будем вычислять по сумме соответствующих поверхностей

Интеграл надо вычислять по и , так как остальные поверхности спроектируются на плоскость в линию, получим:

Знак «-» перед первым двойным интегралом, потому что нормаль образует тупой угол с положительным направлением оси . Нормаль параллельна оси Ох, поэтому при переходе к двойному интегралу знак не изменяется.

Вычислим

Положим

тогда

Найдем

Окончательно

Ответ: 36π.

В примере 13 поверхность замкнутая, нормаль внешняя и поэтому можно вычислить поверхностный интеграл более коротким путем, используя формулу Остроградского – Гаусса.

В нашем случае

70. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Разберем криволинейный интеграл по кривой и .

П усть функции имеют непрерывные частные производные первого порядка внутри замкнутого контура . Положим все координаты в поверхностном интеграле формулы Стокса равным .

Тогда поверхностный интеграл в формуле Стокса равен , а следовательно

или

Окончательно получим

Таким образом, мы показали, что если функции удовлетворяют равенствам:

(1.11)

то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Можно доказать и обратное утверждение. Таким образом, условия (1.11) являются необходимыми и достаточными для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Если криволинейный интеграл является интегралом по плоской кривой, то из условий (1.11) остается только первое условие

90. Восстановление функции по ее полному дифференциалу

Пусть дан дифференциал функции трех переменных

(1.12)

Функции являются частными производными функции по переменным

Продифференцируем первое равенство по , а второе по

Следовательно,

Аналогично доказываются равенства:

Следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Проинтегрируем равенство (1.12) от фиксированной точки до переменной точки

В качестве кривой интегрирования выберем ломаную линию, состоящую из отрезков прямых, параллельных осям координат.

Тогда получим:

или

.

Пример 14.

Найти функцию по ее полному дифференциалу

Решение: