Зв'язок між декартовими та полярними координатами

Пару полярних координат r та φ можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса:

x = r cosφ

y = r sin φ,

в той час як дві Декартові координати x та y можуть бути переведені в полярну координату r:

r² = y² + x² (за теоремою Піфагора).

Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування:

• Для r = 0, φ може бути довільним дійсним числом.

• Для r ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

Для обчислення φ в інтервалі [0, 2π), можна скористатись такими рівняннями (arctg позначає обернену функцію до тангенсу):

Тривимірне розширення

Полярна система координат поширюється в третій вимір двома системами: циліндричною та сферичною, обидві містять двовимірну полярну систему координат як підмножину. По суті, циліндрична система розширює полярну додаванням ще однієї координати відстані, а сферична — ще однієї кутової координати.

Ц иліндричні координати

Точка P накреслена в циліндричній системі координат.

Циліндрична система координат, грубо кажучи, розширює пласку полярну систему додаванням третьої лінійної координати, що має назву висоти і дорівнює висоті точки над нульовою площиною подібно до того, як Декартова система розширюється на випадок 3-х вимірів. Третя координата зазвичай позначається як z, утворюючи трійку координат (ρ, φ, z).

Трійку циліндричних координат можна перевести в Декартову систему такими перетвореннями:

x = ρ cosφ

y = ρ sinφ

z = z .

Сферичні координати

Т очка накреслена в сферичній системі координат.

Також полярні координати можна розширити на випадок трьох вимірів шляхом додавання кутової координати θ, що дорівнює куту повертання від вертикальної вісі z (називається зенітом або широтою, значення знаходяться в інтервалі від 0 до 180°). Тобто, сферичні координати, це трійка (r, θ, φ), де r — відстань від центру координат, φ — кут від осі x (як і в пласких полярних координатах), θ — широта. Сферична система координат подібна до географічної системи координат для визначення місця на поверхні Землі, де початок координат збігається з центром Землі, широта δ є доповненням θ і дорівнює δ = 90° − θ, а довгота l обчислюється за формулою l = φ − 180°.

Трійку сферичних координат можна перевести в декартову систему такими перетвореннями:

Перехід до інших систем координат

Від сферичних до Декартових:

Від Декартових до сферичних:

(тут, звісно, потрібне уточнення для значень поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати θ).

Модуль якобіана перетворення від декартових до сферичних координат:

| J | = r²sin θ.

Циліндрична система координат

Від сферичних до циліндричних:

Від циліндричних до сферичних:

Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

| J | = r.

Афінне перетворення

Афінне перетворення (лат. affinis, «пов'язаний з») - відображення називається афінним, якщо його можна отримати наступним способом:

1. Обрати «новий» базис простору з «новим» початком координат v;

2. Координатам x кожної точки простору поставити у відповідність нові координати f (x), які мають те саме положення в просторі відносно «нової» системи координат, яке координати x мали в «старій».

Перетворення, під час якого точці М ставиться у відповідність точка М’, при чому точка М належить одній системі координат, а точка М’ – новій (перетвореній) системі координат, але має в ній такі самі координати називається афінним перетворенням.