1.6.Правила аналізу складності алгоритмів.
У загальному випадку час виконання оператора або групи операторів можна розглядати як функцію з параметрами – розміром вхідних даних і/або одної чи декількох змінних. Але для часу виконання програми в цілому допустимим параметром може бути лише розмір вхідних даних.
Час виконання операторів присвоєння,
читання і запису звичайно має порядок
.
Час виконання послідовності операторів визначається за правилом сум. Тому міра росту часу виконання послідовності операторів без визначення констант пропорційності співпадає з найбільшим часом виконання оператора в даній послідовності.
Час виконання умовних операторів складається з часу виконання умовно виконуваних операторів і часу обчислення самого логічного виразу. Час обчислення логічного виразу часто має порядок . Час для всієї конструкції if-then-else складається з часу обчислення логічного виразу і найбільшого з часів, який необхідний для виконання операторів, що виконуються при різних значеннях логічного виразу.
Час виконання циклу є сумою часів усіх часів виконуваних конструкцій циклу, які в свою чергу складаються з часів виконання операторів тіла циклу і часу обчислення умови завершення циклу (часто має порядок ). Часто час виконання циклу обчислюється, нехтуючи визначенням констант пропорційності, як добуток кількості виконуваних операцій циклу на найбільший можливий час виконання тіла циклу. Час виконання кожного циклу, якщо в програмі їх декілька, повинен визначатися окремо.
2.Алгоритми сортування
У даному розділі представлено ряд алгоритмів пошуку даних, які виконуються на статичних структурах даних, оскільки це характерні операції логічного рівня для таких структур. Проте, ті ж операції і ті ж алгоритми можуть бути застосовні і до даних, які мають логічну структуру таблиці, але фізично розміщені в динамічній або в зовнішній пам’яті, а також до логічних таблиць з довільним фізичним представленням, для яких характерна змінність.
При подальших викладках всі описи алгоритмів дані для роботи з таблицею, яка складається із записів R[0], ..., R[N-1] з ключами K[0], ..., K[N-1]. У всіх випадках N – кількість елементів таблиці. Приклади для скорочення їхнього обсягу приводитимемо для масивів цілих чисел. Такий масив можна розглядати як вироджений випадок таблиці, кожний запис якої складається з єдиного поля, яке є також і ключем. У всіх прикладах слід вважати вже визначеними:
константу N – ціле додатне число, кількість елементів в масиві;
масив цілих чисел, над яким проводять зазначені дії.
2.1.Задача сортування
Для самого загального випадку сформулюємо задачу сортування таким чином: є деяка неврегульована вхідна множина ключів і потрібно отримати множину цих же ключів, впорядкованих за збільшенням або зменшенням в чисельному або лексикографічному порядку.
Зі всіх задач програмування сортування, можливо, має найбагатший вибір алгоритмів розв’язку. Назвемо деякі чинники, які впливають на вибір алгоритму.
Наявний ресурс пам’яті: повинні вхідна й вихід множини розташовуватися в різних ділянках пам’яті, чи вихідна множина може бути сформована на місці вхідної. В останньому випадку наявна ділянка пам’яті повинна в ході сортування динамічно перерозподілятися між вхідною і вихідною множинами; для одних алгоритмів це пов’язане з великими витратами, для інших – з меншими.
Початкова впорядкованість вхідної множини: у вхідній множині можуть попадатися впорядковані ділянки. В граничному випадку вхідна множина може виявитися вже впорядкованою. Одні алгоритми не враховують початкової впорядкованості і вимагають одного і того ж часу для сортування будь-якої множини даного обсягу, інші виконуються тим швидше, чим краще впорядкованість на вході.
Часові характеристики операцій: при визначенні порядку алгоритму час виконання вважається звичайно пропорційним кількості порівнянь ключів. Ясно, проте, що порівняння числових ключів виконується швидше, ніж стрічкових, операції пересилки, характерні для деяких алгоритмів, виконуються тим швидше, ніж менший об’єм записів. Залежно від характеристик запису таблиці може бути вибраний алгоритм, що забезпечує мінімізацію числа тих чи інших операцій.
Складність алгоритму є не останнім міркуванням при його виборі. Простий алгоритм вимагає меншого часу для його реалізації і вірогідність помилки в реалізації його менше. При промисловому виготовленні програмного продукту вимоги дотримання термінів розробки і надійності продукту можуть навіть превалювати над вимогами ефективності функціонування.
Алгоритм сортування називається усталеним, якщо у відсортованому масиві він не змінює порядку розташування елементів.
Ефективність методів сортування визначається двома параметрами:
кількістю порівнянь;
кількістю пересилань елементів.
Різноманітність алгоритмів сортування вимагає деякої їхньої класифікації. Вибраний один з вживаних для класифікації підходів, орієнтований перш за все на логічні характеристики використовуваних алгоритмів. Згідно цьому підходу будь-який алгоритм сортування використовує одну з наступних чотирьох стратегій (або їхню комбінацію).
Стратегія вибірки. З вхідної множини вибирається наступний за критерієм впорядкованості елемент і включається в вихідну множину на місце, наступне за номером.
Стратегія включення. З вхідної множини вибирається наступний за номером елемент і включається в вихідну множину на те місце, яке він повинен займати відповідно до критерію впорядкованості.
Стратегія розподілу. Вхідна множина розбивається на ряд підмножин і сортування ведеться у середині кожної такої підмножини.
Стратегія злиття. Вихідна множина отримується шляхом злиття маленьких впорядкованих підмножин.
При використанні операції обміну використовується функція обміну значень двох комірок з цілими числами (функції пересилки даних можна уникнути, якщо сортування проводиться на зв’язних структурах даних – тоді відбувається зміна посилань на відповідні комірки):
void Swap(int & a, int & b)
{
int tmp = a; a = b; b = tmp;
}