5.3.2.2.Складання плану робіт

У багатьох задачах, у тому числі у великих програмних проектах, певні дії повинні бути виконані раніше інших. Наприклад, при будівництві до закладки фундаменту потрібно вирити котлован, фундамент повинен застигнути до того, як почнеться зведення стін, каркас повинен бути зібраний перш, ніж можна буде виконуватися проводка електрики, водопроводу і покрівельні роботи і так далі.

Деякі з цих задач можуть виконуватися одночасно, інші повинні виконуватися послідовно. Наприклад, можна одночасно проводити електрику і прокладати водопровід.

Критичним шляхом називається одна з найдовших послідовностей задач, яка повинна бути виконана для завершення проекту. Важливість задач, що лежать на критичному шляху, визначається тим, що зсув термінів виконання цих задач приведе до зміни часу завершення проекту в цілому. Якщо закласти фундамент на тиждень пізніше, то і будівля буде завершена на тиждень пізніше. Для визначення завдань, які знаходяться на критичному шляху, можна використовувати модифікований алгоритм пошуку найкоротшого маршруту.

Спочатку створюють мережу, яка представляє тимчасові співвідношення між задачами проекту. Нехай кожній задачі відповідає вузол. Зв’язок між задачею I і задачею J існує, якщо задача I повинна бути виконана до початку задачі J, і ціна цього зв’язку рівну часу виконання задачі I.

Після цього вибирають два помилкові вузли, один з яких відповідає початку проекту, а інший – його завершенню. З’єднують початковий вузол зв’язками з нульовою ціною зі всіма вузлами в проекті, в які не входить жоден інший зв’язок. Ці вузли відповідають задачам, виконання яких можна починати негайно, не чекаючи завершення інших задач.

Потім створюють помилкові зв’язки нульової довжини, які сполучають усі вузли, з яких не виходить жодного зв’язку, з кінцевим вузлом. Ці вузли представляють задачі, які не гальмують виконання інших задач. Після того, як всі ці задачі будуть виконані, проект буде завершений.

Знайшовши найдовший маршрут між початковим і кінцевим вузлами мережі, ми отримаємо критичний шлях проекту. Задачі, які входять у нього, будуть критичними для виконання проекту.

5.3.2.3.Планування колективної роботи

Нехай потрібно набрати декількох співробітників для відповідей на телефонні дзвінки, при цьому кожний з них буде зайнятий не весь день. При цьому потрібно, щоб сумарна зарплата була якнайменшою, і найнятий колектив співробітників відповідав на дзвінки з 9 ранку до 5 вечора.

Для побудови відповідної мережі, створюють один вузол для кожної робочої години. З’єднують ці вузли зв’язками, кожний з яких відповідає робочому часу співробітника. Якщо співробітник може працювати з 9 до 11, то зв’язок між вузлом 9:00 і вузлом 11:00, і присвоюють цьому зв’язку ціну, рівну зарплаті, одержуваній даним співробітником за відповідний час.

Найкоротший маршрут з першого вузла в останній дозволяє набрати колектив співробітників з якнайменшою сумарною зарплатою. Кожний зв’язок в дорозі відповідає роботі співробітника в певний проміжок часу.

5.4.Максимальний потік

В багатьох мережах зв’язки мають окрім ціни, ще і пропускну спроможність. Через кожний вузол мережі може проходити потік, який не перевищує її пропускної спроможності. Наприклад, вулицями може проїхати тільки визначена кількість машин. Мережа із заданими пропускними спроможностями її зв’язків називається навантаженою мережею. Якщо була задана навантажена мережа, задача про максимальний потік полягає у визначенні найбільшого можливого потоку через мережу із одного вузла в інший.

Описаний алгоритм починається з того, що потік у всіх зв’язках рівний нулю і потім алгоритм поступово збільшує потік, намагаючись поліпшити знайдене рішення. Алгоритм завершує роботу, якщо не можна поліпшити наявне рішення.

Для пошуку шляхів способів збільшення повного потоку, алгоритм перевіряє залишкову пропускну спроможність зв’язків. Залишкова пропускна спроможність зв’язку між вузлами I і J рівна максимальному додатковому потоку, який можна направити з вузла I у вузол J, використовуючи зв’язок між I і J і зв’язок між J і I. Цей сумарний потік може включати додатковий потік по зв’язку I-J, якщо в цьому зв’язку є резерв пропускної спроможності, або виключати частину потоку із зв'язку J-I, якщо по цьому зв’язку йде потік.

Мережа, яка складається зі всіх зв’язків з додатною залишковою пропускною спроможністю, називається залишковою мережею. Одна з властивостей залишкових мереж полягає в тому, що будь-який шлях, який використовує зв’язки із залишковою пропускною спроможністю більше нуля і пов’язує джерело зі стоком, дає спосіб збільшення потоку в мережі. Оскільки цей шлях дає спосіб збільшення або розширення потоку в мережі, він називається розширювальним шляхом.