3. Приклад розв’язання задачі

До сталевого стержня (рис. 3, а) у площинах, перпендикулярних до його осі, прикладені чотири пари сил, моменти яких становлять M₁=2,0 кН·м; M₂=3,0 кН·м; M₃ =7,5 кН·м; M₄=4 кН·м. Стержень на ділянках 0–1, 1–2, 2–3 має суцільний круглий поперечний переріз, а на ділянці 3–4 – поперечний переріз у вигляді кільця з відношенням α=0,4 внутрішнього діаметра до зовнішнього. Довжини ділянок стержня: a =1,5 м; b = 1 м; c = 2,5 м; d = 2 м.

Необхідно виконати наступне.

1. Визначити крутні моменти на ділянках стержня і побудувати епюру крутних моментів.

2. За умовою міцності для кручення визначити діаметри поперечних перерізів ділянок стержня, якщо [τ] = 70 МПа.

3. Визначити відносні кути закручування ділянок стержня, прийнявши модуль зсуву матеріалу G = 8·10⁴ МПа.

4. Перевірити чи забезпечується умова жорсткості стержня, якщо допустимий відносний кут закручування [θ] = 0,044 рад/м = 2,5 град/м. Для ділянок, на яких умова жорсткості не забезпечується, визначити діаметри поперечних перерізів за умовою жорсткості.

Р о з в’ я з а н н я

1. Визначаємо реактивний момент М₀ в защемленні з рівняння рівноваги (рис. 3, б)

.

Для заданої схеми навантаження стержня рівняння рівноваги набуває вигляду

-М₀+М₁+М₂-М₃+М₄=0,

звідки

М₀ = М₁+М₂-М₃+М₄ = 2+3-7,5+4 = 1,5 кН·м.

Згідно з правилом визначення крутних моментів отримуємо їх значення для ділянок стержня:

Т_0-1 = М₀ = 1,5 кН·м;

Т_1-2 = М₀-М₁ = 1,5-2,0 = -0,5 кН·м;

Т_2-3 = М₄ - М₃ = 4-7,5 = -3,5 кН·м;

Т_3-4 = М₄ = 4 кН·м.

За отриманими результатами будуємо епюру крутних моментів (рис. 3, в).

2. Визначаємо діаметри поперечних перерізів ділянок стержня за умовою міцності для кручення.

Діаметри поперечних перерізів ділянок 0–1, 1–2, 2–3 обчислюємо за формулою (9):

мм;

мм;

мм.

Для визначення зовнішнього діаметра поперечного перерізу ділянки 3–4 використовуємо формулу (10):

мм.

За умовою задачі, відношення внутрішнього діаметра поперечного перерізу ділянки 3–4 до його зовнішнього діаметра становить α= . Отже, внутрішній діаметр ділянки 3–4 буде

мм.

3. Визначаємо відносні кути закручування ділянок стержня в град/м за формулою (14).

Ділянка 0 – 1:

,

де

мм⁴.

Ділянка 1 – 2:

,

де

мм⁴.

Рис. 3. Схема навантаження стержня (а), його розрахункова схема після звільнення від в’язі (б) та епюри крутних моментів (в) і кутів закручування (г)

Ділянка 2 – 3:

,

де

мм⁴.

Ділянка 3 – 4:

,

де

мм⁴.

4. Перевіряємо виконання умови жорсткості (15) стержня на кожній з його ділянок:

θ^о_0–1 = 2,11 град/м < [θ^о] = 2,5 град/м;

θ^о _1–2 = 3,06 град/м > [θ^о] = 2,5 град/м;

θ^о _2–3 = 1,6 град/м < [θ^о] = 2,5 град/м;

θ^о _3–4 = 1,51 град/м < [θ^о] = 2,5 град/м.

Отже, для підібраних діаметрів поперечних перерізів умова жорсткості виконується на всіх ділянках стержня, крім ділянки 1–2. Для цієї ділянки необхідно визначити такий діаметр поперечного перерізу, який би забезпечив виконання умови жорсткості. Обчислимо його за формулою (17):

мм.

ЗАДАЧА 3. РОЗРАХУНОК СТАТИЧНО ВИЗНАЧНИХ БАЛОК ПРИ ПРЯМОМУ ЗГИНІ