III. Математична модель перехідних процесів

За основу математичної моделі перехідних процесів (процесів комутації) в джозефсонівських логічних елементах було вибрано диференціальне рівняння, яке використовувалось для моделювання перехідних процесів і розрахунків перехідних характеристик джозефсонівських елементів памяті [8]:

, (1)

де – сила струму, що протікає через елемент, – сила критичного струму, – ємність джозеф­сонівського тунельного переходу, – провід­ність переходу в разі одноелектронного тунелювання (в загальному випадку провідність залежить від напруги на елементі ), – стала Планка, – заряд електрона, – невідома функція, яка описує часову залежність різниці фаз хвильових функцій надпровідників з обох боків від тунельного бар’єру (стрибок фази). Розрахувавши функцію і використати відоме співвідношення для нестаціо­нарного ефекту Джозефсона [9]:

, (2)

то можна отримати перехідну характеристику логічного елемента – часову залежність напруги на елементі під час процесів комутації (зміни логічного стану), яка містить всю інформацію про перебіг перехідних процесів і яка дозволяє визначати час комутації для логічних переходів “0” ”1” чи “1” ”0”.

Для встановлення початкових умов для рівняння (1) ми вважали, що в початковий момент часу ( = 0) логічний елемент перебував у стані “0” (точка А), сила струму = , а напруга на елементі = 0. Якщо = 0, то виходячи із співвідношення (2), = 0. Залежність нормальної провідності тунельного переходу від напруги на основі формули (2) замінювалась на функцію , яка визначалась із вольтамперної характеристики переходу в режимі одноелектронного тунелювання. Робочою температурою логічного елемента ви-брано температуру кипіння гелію Т = 4,2 К, для якої була розрахована вольтам-перна характеристика тунельного переходу, а розраховану ВАХ апроксимовано простою математичною функцією [10]:

= , (3)

де – нормальна провідність (провідність тунельного переходу в резистивному стані, коли напруга на ньому ) – параметр, який можна було змінювати в процесі моделювання.

.Для моделювання подачі керуючих сигналів у формі зовнішніх імпульсів струму та їх дії на логічних елементів використовувалась така залежність сили струму від часу:

, (4)

де – номер сигналу, що подається на логічний елемент (число може приймати значення 1 або 2), – номер імпульса струму в першому чи другому сигналі (число = 1; 2; 3; …), – амплітуда керуючих імпульсів струму, – середній час наростання чи спадання імпульсів струму, – момент часу, коли на логічний елемент подавали – сигнал – імпульса струму, – тривалість імпульсів струму. Моментом подачі сигналів на логічний елемент вважали той момент часу, коли сила струму в імпульсі досягла максимального значення .

Сила загального струму , який протікає через логічний елемент, задавалась як сума сили робочого струму , сили імпульсів струму першого сигналу та сили імпульсів струму другого сигналу :

= + + , (5)

Для моделювання процесів комутації та отримання перехідних характеристик логічних елементів методом Рунге-Кутта розв’язувалось складене нами диференціальне рівняння:

, (6)

де числовий множник .