2 Математическая логика
2.1 Функции алгебры логики (булевые функции)
Функция F (x1, x2, … ,xn) называется булевой или логической (переключательной), если она принимает два значения: ложь или истина (0 или 1). Причем аргументы x1, x2, … , xn могут принимать только те же значения ложь или истина (0 или 1) и называются также булевыми или логическими переменными.
Упорядоченная совокупность переменных (x1, x2, … , xn) называется булевым набором длины n.
Наборы переменных, при которых функция F (x1, x2, … , xn) = 0, называются нулевыми наборами, а при которых функция F (x1, x2, … , xn) = 1, называются единичными наборами переменных.
Множество всех возможных двоичных наборов длины n называется областью определения булевой функции. Множество значений функции на всех наборах называется областью значения логической функции.
Булевая функция, определенная на всех двоичных наборах, называется полностью определенной. В противном случае – не полностью определенной (частично определенной) логической функцией.
2.1.1 Способы задания булевых функций
Табличный способ задания логической функции
Таблица 2.1 – Таблица истинности функции 4 – х переменных
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Наборы могут обозначаться десятичными или шестнадцатеричными числами. Для нашей таблицы: 2, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13,15 или 2, 4, 7, 8, 9, A, C, D, F.
Таблица 2.1 называется таблицей истинности.
Число двоичных наборов от количества переменных находится в следующей зависимости:
2n ,
где n – число переменных.
Примечание: недостаток табличного представления булевой функции: при увеличении числа переменных размер таблицы резко увеличивается.
Матричный способ представления
Это - частный способ табличного представления логических функций. В частности – карты Карно.
Таблица 2.2 – Матричный способ представления
х1х2 \ х3х4 |
00 |
01 |
11 |
10 |
00 |
0 |
0 |
0 |
1 |
01 |
1 |
0 |
1 |
0 |
11 |
1 |
1 |
1 |
0 |
10 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Графический способ представления
В этом случае логическая функция n переменных представляется n – мерным кубом, где каждый двоичный набор это n – мерный вектор, определяющий точку n – мерного пространства. Тогда множество наборов, на которых определена функция n переменных – это вершины n – мерного куба.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 01 |
101 |
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
х2
10
*011
000
Рисунок 2.1 – Графическое представление функции 3-х переменных
Таблица 2.3 – Таблица истинности той же функции
х1 |
х2 |
х3 |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Аналитический способ представления
Для этого нужно ввести множество функций, а также правила зависимости функций от набора переменных, т.е. формулы – аналитические выражения на основе операций булевой алгебры.