3.2 Определение исчисления высказываний

Исчисление высказываний – аксиоматическая теория L (logic) - совокупность правил, используемых для установления истинности утверждений, являющихся комбинациями выражений, построенных на высказывании.

Формальная теория L строится следующим образом:

1. Алфавит – множество переменных – пропозициональных букв, обозначающих высказывания:

А, В, С, . . .

2. Множество логических связок – операций над высказываниями:

, , (, ).

3. Формулы – правильно построенные выражения:

• любая буква, обозначающая высказывание – формула,

• если А и В формулы, то  А, А  В тоже формулы,

• других формул нет.

Примечание: в формулах могут использоваться парные скобки.

Примечание: в формулах в качестве переменных могут использоваться другие формулы.

4. Аксиомы. Формула алгебры высказываний, которая является истинной на всех наборах переменных, называется тавтологией -тождественно – истинной формулой. Поэтому тавтологию можно принять в виде аксиомы исчисления высказываний.

Примечание: исчисление высказываний может иметь множество аксиом, но необходимо чтобы они были независимы, т.е., чтобы одна из них не выводилась из других.

Каковы бы ни были формулы A, B, C, в теории L следующие формулы являются аксиомами теории L:

1. (A  (B A ));

2. ((A  (B С ))  ((A  B )  (A  С )));

3. (( B  A ))  (( B A )  B )).

5. Правило вывода – в теории L только одно: сокращение посылки – формула B является непосредственным следствием формул A и A  B (modus ponens). Т.е., если истинно A и истинно, что из A следует B, то истинно и B:

A , A  B B.

Примечания:

• Пункт 4 указывает не просто три аксиомы, а три формульные схемы, порождающие бесконечное множество аксиом при подстановке в них произвольных формул A, B, C,. Для любой произвольной формулы, очевидно, легко проверить, является ли она аксиомой, или нет, поэтому L – эффективно аксиоматизированная теория.

• В логике импликация и инверсия являются функционально полной системой функций. Поэтому использование только этих двух связок достаточно для построения любых формул алгебры исчисления высказываний.

Для удобства записи формул по определению вводятся такие связки, как , , , что означает:

A  B   A  B;

A  B   (A  B )

A  B  (A  B )  (B A ).

В теории L согласно определению исчисления, формальным выводом формулы B из формул - посылок A₁,…, A_n называется последовательность формул B₁ ,…, B_k , заканчивающаяся формулой B (т.е. B_k = B), причем каждая формула этой последовательности или одна из посылок A₁,…, A_n, или аксиома, или формула, полученная из некоторых предшествующих формул из A₁,…, A_n, по правилу вывода modus ponens. Если существует формальный вывод формулы B из формул A₁,…, A_n, то формула B называется формально выводимой в L из формул A₁,…, A_n, что обозначается так:

A₁,…, A_n B или Г B, где Г = A₁,…, A_n .

Формальным доказательством в теории L называется конечная последовательность формул B₁ ,…, B_k, такая, что каждая формула этой последовательности либо аксиома, либо получена по правилу modus ponens из каких-нибудь двух предшествующих формул этой последовательности. Формальное доказательство является доказательством последней в последовательности B₁ ,…, B_k формулы B_k.

Формула B называется формально доказуемой или теоремой теории L, если и только если она имеет формальное доказательство. Обозначается:

B.

Формула алгебры высказываний, которая является истинной на всех возможных наборах переменных, называется тождественно – истинной или тавтологией. Поэтому тавтологию можно принять в виде аксиомы исчисления высказываний.

Существует два способа доказательств тавтологии:

1. Построением таблицы истинности для данной формулы.

2. Упрощением исходной формулы до вида: (А   А) или (А  «истина»).

Пример: Доказать истинность А  (В  А).

Таблица 3.1 – Доказательство по таблице истинности

А	В	В  А	А  (В  А)
и	и	И	и
и	л	И	и
л	и	Л	и
л	л	И	и

Доказательство вторым способом:

А  (В  А) = А  ( В  А) =  А  ( В  А) =  А  А  В =

«истина»

= «истина»   В = «истина».