1.5 Элементы алгебры множеств
1.5.1 Определение алгебры множеств
Алгеброй называется система множеств, включающая 2 множества:
где: М – основное множество или носитель, т.е. – множество всех объектов, которые рассматриваются в алегбре. В данном случае – это множестваю
Ω – сигнатура – множество всех операций данной алгебры.
Для алгебры множеств Ω = {, ∩, \, +,l}.
Множества, связанные между собой знаками операций, называются выражением алгебры множеств. Каждое выражение представляет собой также множество.
Пусть L(x, y, z) – некоторое выражение. Если существует такое множество Р(x, y, z), которое равно L(x, y, z), то эти два множества образуют тождество. В выражениях можно использовать скобки, чтобы определять приоритет операций. Наивысшим приоритетом обладает унарная операция дополнение, затем – пересечение, и низший приоритет у объединения.
1.5.2 Основные законы алгебры множеств
Ассоциативный:
Коммутативный:
Дистрибутивный:
Сохранение нуля и единицы:
Идемпотентности:
Закон поглощения:
Закон де Моргана:
1.5.3 Принцип двойственности
Тождество не нарушится если сделать одновременную замены в тождестве по следующей схеме:
{Пример:
тождество
по принципу двойственности можно переписать:
Анналогично: так как
то
}
Принцип
двойственности справедлив и для знаков
включения. Из того, что
следует, что
Так
как,
то:
Если
тождество содержит разность, то используя,
разность можно преобразовать так, чтобы
использовать принцип двойственности.
Пример:
имеем
Тогда
по принципу двойственности:
Это
тождество справедливо для произвольных
множеств универсума. Поэтому оно не
нарушится, если заменить С и
соответственно
на
и
A:
Т.е.
получаем новое тождество:
.
1.6 СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ
1.6.1 По принадлежности элементов множеств
Чтобы доказать тождество А = В, нужно доказать:
а)
что
т.е. из того, что
(следует), что
б)
что
т.е. из того, что
Пример:
доказать тождество
а)
Пусть
и
Т.е.
б)
Пусть
и
и
Т.е.
Значит
1.6.2 Использование тождественных преобразований
1.6.3 Четыре основных соотношения
1)
и
2)
и
3)
4)
1.6.4 Решение системы уравнений в алгебре множеств
Пример. Дана система уравнений:
Где A, B, C, X – произвольные множества.
Найти: значение множества X.
Решение.
1. Решаем
первое уравнение
При этом находим ограничения для множеств
A
и
C.
Перепишем первое
уравнение, заменив операцию разность
на пересечение:
Из свойства равенства множеств следуют
два соотношения:
a)
б)
Решаем их по-отдельности.
a)
б)
при
Таким образом, из первого уравнения следует:
при
.
2.
Решаем второе уравнение
При этом находим ограничения для множеств
A
и
B.
а)
б)
при
Из второго
равенства имеем:
при
Теперь необходимо объединить два соотношения, полученные из первого и второго равенства по следующему правилу:
Левые части с помощью операции объединения, а правые – операцией пересечения.
при
Приведем правую часть полученного соотношения к левой:
Имеем решение:
при
