3.3.2 Принцип резолюции в исчислении предикатов

Как и в исчислении высказываний является основным способом доказательств.

Резолюция – это тавтология вида:

( Х  А)  (Y   А)  (Х  Y).

К ак и в исчислении высказываний метод резолюции основывается на доказательстве от противного: вместо доказательства А  В доказываем А   В = «ложь».

Алгоритм метода резолюции следующий:

1. Составляются конъюнкции из исходных посылок и отрицания заключения.

2. Данная форма приводится к КНФ, путем использования известных законов.

3. Исключаются кванторы существования, в результате применения скулемизации.

Примечание: математик Скулем доказал, что:

• если переменная х связана с квантором существования, который сам находится в области действия квантора общности, то квантор существования уничтожается вместе с переменной, а все вхождения х, которые были связаны квантором существования, заменяются на скулемовскую константу – некоторое значение х, при которых кванторное выражение истинно:

 х А (х)  А (а).

Пример:  х (х² + х + 3 = «истина»)  а² + а + 3 = «истина»).

• но, если квантор существования находится в области действия квантора общности, то вместо константы используется скулемовская функция от переменных, связанных квантором общности. Причем скулемовская функция должна использоваться для каждого х:

 y ( x A (x))   y ( A ( f (y))), где f (y) – скулемовская функция.

Примечание:скулемовская функция показывает каким образом мы подразумеваем зависимость х от y.

Примечание: если в зоне действия квантора общности имеется два и более кванторных выражения, то для каждого квантора существования нужно использовать собственную скулемовскую функцию.

4. Внести кванторы общности и исключить их, используя аксиому:

 х А (х)  А (х).

5. Выписать полученные дизъюнкты в отдельные строки.

6. Применить резолюцию к полученным дизъюнктам. Если будет выведен пустой дизъюнкт, т.е. доказана ложь, то исходное утверждение верно.

3.3.3 Схемы доказательств в исчислении предикатов

Возможны два вида задач, решаемых с использованием исчисления предикатов:

1 . Проверить заключение А, В С.

Схема: (А  В)  С путем тождественных преобразований привести к «истине», т.е.

(А  В)  С = … = (Р   Р )  (Р  «истина»).

2. Дана совокупность посылок, а надо вывести заключение, используя метод резолюции:

А, B, C, D, … , ?

Пример: 1 посылка: «Всякая футбольная команда, которая может победить «Десну» Чернигов, является командой высшей лиги».

2 посылка: «Ни одна команда высшей лиги не может победить «Десну» Чернигов».

Проверить заключение: ««Десна» Чернигов - непобедима».

Вводим предметную переменную и кванторные выражения:

х – футбольная команда,

П (х) – команда, которая может победить «Десну» Чернигов.

В (х) – команда высшей лиги.

Записываем посылки и заключение через кванторные выражения:

х (П (х)  В (х)), х (В (х)   П (х))  х П (х).

Решение:

(х (П (х)  В (х))  х (В (х)   П (х)))    х П (х) =

= х ((П (х)  В (х))  (В (х)   П (х)))    х П (х) =

=  (х ((  П (х)  В (х))  (  В (х)   П (х))))    х П (х) =

=  (х (  П (х)  (В (х)   В (х))))    х П (х) =

«истина»

=  х  П (х)    х П (х) =  (х  П (х)   х П (х)) =

=  (  х П (х)   х П (х)) =  «ложь» = «истина».

«ложь»

Заключение верно: «Десна» Чернигов – непобедима.

Пример: Вывести заключение методом резолюции исчисления предикатов из следующих посылок:

1. Все выпускники Итона в этом колледже играют в крикет.

2. Никто, кроме преподавателей, не обедает за верхним столом.

3. Ни один из тех., кто играет в крикет, не умеет грести.

4. Все мои друзья в этом колледже – выпускники Итона.

5. Все преподаватели – прекрасные гребцы.

Решение:

Введем предметную переменную и кванторные выражения:

х – люди этого колледжа.

К (х) – играющие в крикет,

О (х) – обедающие за верхним столом,

И (х) – выпускники Итона,

Д (х) – мои друзья,

Г (х) – гребцы,

П (х) – преподаватели.

Тогда посылки с помощью кванторных выражений запишутся следующим образом:

1. Все выпускники Итона в этом колледже играют в крикет.

(И (х)  К (х)).

2. Никто, кроме преподавателей, не обедает за верхним столом.

( П (х)   О(х)).

3. Ни один из тех., кто играет в крикет, не умеет грести.

(К (х)   Г(х)).

4. Все мои друзья в этом колледже – выпускники Итона.

(Д (х)  И(х)).

5. Все преподаватели – прекрасные гребцы.

( П (х)  Г(х)).

Избавляемся от кванторов общности и переходим от импликации к дизъюнкции, применяем метод резолюции:

 И(х) К(х)  И(х) Г(х)  И(х) П(х)  И(х)  О(х)  Д (х)  О(х)

П (х)   О(х)

 К (х)   Г(х)

 П (х)  Г(х)

 Д (х)  И(х)

Получили заключение  Д (х)   О (х) = Д (х)   О (х), т.е. мои друзья не обедают за верхним столом.