1.4 Операции над множествами
Объединение
Объединением
множеств А
и В
(обозначается А
В) называется
множество,
которое состоит из всех тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из
множеств А или В.
Символически это можно записать так:
А
В={
x
x
А
V
х
В}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А В = {a, b, d, e, h}.
Аналогично определяется объединение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.
Пересечение
Пересечением
множеств А
и В
(обозначается А
В)
называется множество,
состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат и А, и
В.
А В={ x x А & х В}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А В = {b, d,}.
Аналогично определяется пересечение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.
Если D E = , то говорят, что множества D и E не пересекаются.
Разность
Разностью множеств А и В (обозначается А \ В или А В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В
А \ В = { x x А & х В }
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А \ В = {a}.
В \ А = {e, h}.
Свойства операции разности:
1. В отличие от операций объединения и пересечения разность является строго двухместной операцией.
Она некоммутативна, т.е. А \ В В \ А.
Если А \ В = , то А В.
4.
5. Для разности справедлив закон дистрибутивности как относительно объединения, так и пересечения
Симметрическая разность
Симметрическая разность (записывается как А + В ) и определяется следующим образом:
А + В = (А \ В) (В \ А) = (А В) \ (А В) =
= { x (x А & х В) V (х A & х В )}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А + В = {a, e, h}.
Свойства симметрической разности:
Симметрическая разность является строго бинарной операцией.
Учитывая, что
и
,
то:
3. Коммутативность
4.
Ассоциативность
5.
Дистрибутивность относительно операции пересечения
Дополнение множества
Если в некотором рассуждении или в рамках определенной ситуации все используемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называется универсальным множеством (или универсумом) для данного рассуждения.
Свойства универсума:
Если X U, то X U = .
2. Если X U, то X U = U .
Дополнением
(до универсума) множества Х
(обозначают
или
X)
называют множество всех элементов, не
принадлежащих Х,
но принадлежащих U.
= {x x X}.
Свойства дополнения:
1.
.
=
.
.
.
.
.
.Если А = В, то
.
Если А В, то
.
Множество всех подмножеств (булеан)
Множество всех подмножеств множества А обозначают ß(А) и называется булеаном данного множества A.
Т.е. по определению: ß(А) = {B | B A}.
Ясно, что ß(А) содержит как пустое множество Ø, так и само множество A.
Пример: пусть A = {a, d, c}.
Тогда ß(А) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.
Очевидно, что если B A, то B ß(А) и наоборот.
Из нашего примера видно: если множество A = {a, d, c} содержит 3 элемента, то ß(А) содержит 23 = 8 элементов. В общем случае, если в множестве A n элементов, то в ß(А) 2n элементов. Поэтому множество ß(А) часто называют множеством-степенью множества A.