4.5.3 Алгоритм Форда и Фалкерсона нахождения максимального потока транспортной сети
Основан на теореме Форда и Фалкерсона:
Максимальный поток в сети равен минимальной пропускной способности разреза.
Алгоритм Форда и Фалкерсона:
1.
Перенумеровать произвольным образом
вершины транспортной сети
,
отличные от
и
.
2.
Построить произвольный поток на
транспортной сети
(например, положить
).
3.
Просмотреть пути, соединяющие вход сети
с выходом
.
Если поток
полный
— перейти
к пункту 4.
В противном случае рассмотреть путь
,
соединяющий
с
, все
дуги которого не насыщены. Построить
новый поток
:
=
Повторить этот процесс до получения полного потока .
4. Присвоить целочисленные метки вершинам сети и знаки «+» или «—» дугам по правилам:
а) входу присвоить метку 0;
б)
если вершина
получила некоторую метку, а
— еще
непомеченная вершина, то вершине
,
такой что
присвоить
метку
,
а дуге
- знак
«+»; вершине
,
такой что
,
присвоить метку
,
а дуге
- «-».
Остальные непомеченные вершины и
дуги метки и знака не получают;
в) повторить процесс, описанный в пункте 4б) до тех пор, пока не прекратится появление новых отмеченных вершин и дуг. Если в результате процесса 4б) вершина не получит метки, то поток обладает наибольшей величиной. В противном случае перейти к пункту 5.
Рассмотреть последовательность отмеченных вершин
,
каждая из которых имеет метку, равную
номеру последующей вершины, и
последовательность дуг
(не обязательно путь), соединяющих
последовательные вершины из
.
Построить новый поток
:
Перейти к пункту 4.
Примечание
1. Если в
найденном пути номера индексов совпадают,
то вторую вершину можно опустить, перейдя
непосредственно к меньшему индексу,
что не приведёт к изменению потока.
Таким образом,
-
максимальный поток. Дальнейшее увеличение
возможно только при увеличении пропускной
способности дуг.
Примечание
2. При
программной реализации алгоритма первый
этап можно опустить, а начинать со
второго этапа, индексируя вершины графа
при потоке
.
Пример нахождения максимального потока
Дана транспортная сеть (рисунок 4.8). Найти для нее максимальный поток.
3
x2 (9) x3
3 4
(6) 2 (9)
x0 (4) z
(7) (5)
4 x1 (3) x4
3
2
Рисунок 4.8 – Транспортная сеть
Таблица 4.5 – Первый этап решения задачи
-
xi
0
(0+,)
1
(0+,3)
2
(0+,3)
3
(2+,3)
4
(3+,3)
5
(3+,3)
6
x2 (9) x3
6 7
(6) 2 (9)
x0 (4) z
(7) 2 (5)
4 x1 (3) x4 3
Рисунок 4.9 – Транспортная сеть после первого этапа
Таблица 4.6 – Второй этап решения задачи
-
xi
0
(0+,)
1
(0+,3)
2
---
3
(1+,2)
4
(1+,1)
5
(4+,1)
6
x2 (9) x3
7
2 (9)
x0 (4) z
(7) (5)
5 x1 (3) x4
4
Рисунок 4.10 – Транспортная сеть после второго этапа
Таблица 4.7 – Третий этап решения задачи
-
xi
0
(0+,)
1
(0+,2)
2
---
3
(1+,2)
4
(3+,2)
5
(3+,2)
6
x2 (9) x3
9
4 (9)
x0 (4) z
(7) (5)
7 x1 x4 4
Рисунок 4.11 – Транспортная сеть после третьего этапа
Максимальный поток: 3+1+2=6.