4.6 Обходы в графах

4.6.1 Эйлеровы графы

Начало теории графов как раздела математики связы­вают с так называемой задачей о кёнигсбергских мостах. Эта задача состоит в следующем. Семь мостов города Кёнигсберга были расположены на реке Прегель так, как изображено на рисунке.

Рисунок 4.20 – Кёнигсбергские мосты

Спрашивается, можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя в точности один раз по каж­дому мосту?

Сопоставим плану города граф , вершины которого соответствуют четырем разделяемым рекой участкам су­ши , а ребра — мостам. Этот граф изображен на рисунке 10.1.2. Видно, что некоторые пары вершин соединены двумя дугами, например, вершины А и В. Такие графы называются мультиграфами.

C

A D

B

Рисунок 4.21 – Мультиграф

Задачу о кёнигсбергских мостах можно на языке теории графов сформулировать так:

есть ли в мультиграфе цикл, содержащий все ребра этого мультиграфа?

Эйлер доказал неразрешимость задачи о кёнигсберг­ских мостах. Он сформулировал и решил следующую общую проблему теории графов: при каких условиях связный граф содер­жит цикл, проходящий через каждое его ребро?

Цикл в графе называется эйлеровым, если он содер­жит все ребра графа по одному разу.

Связный граф, в котором есть эйле­ров цикл, называется эйлеровым графом. Такой граф мож­но нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.

Теорема Л. Эйлера (1736 г.):

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

Доказательство.

а) Необходимость.

Пусть произвольный граф — эйлеров граф. Тогда в нем имеется цикл, содержащий все ребра графа. Следовательно, этот цикл проходит через все вершины графа, входя в каждую вершину по одному ребру, выходя – по другому. Поэтому каждому прохождению цикла через любую вершину соответствует два ребра, откуда следует четность степеней всех вершин графа.

б) Достаточность.

Пусть степени всех вершин произвольного связного графа Г четны . Будем строить цепь Р₁, начиная ее из произвольной вершины х₀ графа, выбирая каждый раз, если возможно, новое ребро и стараясь включить в эту цепь как можно больше ребер. Поскольку в каждой вершине число ребер четно, процесс построения такой цепи может закончиться только в вершине х₀, когда цепь Р₁ станет циклом. Если окажется, что в при этом в цепи Р₁ содержатся все ребра графа, - то это и будет эйлеров цикл.

Если же в Р₁ содержатся не все ребра графа Г, то удалим из него все ребра цикла Р₁, получая граф Г₁. Все вершины графа Г₁ будут иметь четную степень, как и все вершины исходного графа Г. В силу связности исходного графа Г, существует вершина х₁, входящая одновременно и в цикл Р₁ и в граф Г₁ (см. рисунок 4.21).

Р₁^’

Р₂

x₀ Р₁ x₁

Р₁^’’

Рисунок 4.21– Граф Г

Тогда, начиная с этой общей вершины х₁, можно построить цикл Р₂ в графе Г₁ аналогично тому, как был построен цикл Р₁. Очевидно, объединив два цикла Р₁ и Р₂, можно получить новый цикл Р₃ :

Р₃ = Р₁^’  Р₂  Р₁^’’_.

Этот цикл будет проходить, начиная с вершины х₀ , путь Р₁^’ до вершины х₁ , далее - цикл Р₂ снова в вершину х₁ и затем – путь Р₁^’’ в вершину х₀. Если цикл Р₃ не будет элеровым, то, проделав аналогичные построения, можно получить цикл с еще большим количеством ребер, продолжая процесс до построения эйлерова цикла. Он непременно будет построен в силу конечности исходного графа Г.

В произвольном графе эйлеров цикл, вообще говоря, может не существовать, а если существует, - может быть не единственным.

Таким образом, решая задачу о кенигсбергских мостах, рассматривая граф на рисунке 10.1.2, можно заметить, что степени вершин A, B, C, D равны соответственно 5, 3, 3, 3 являются нечетными. Т.е. в данном графе эйлерова цикла нет.

Эйлеровы графы встречаются достаточно редко.

Лемма:

В любом графе число вершин нечетной степени четно.

Доказательство.

По теореме Эйлера = 2m, т.е. сумма степеней всех вершин – четное число. Сумма степеней вершин четной степени четна, значит, сумма степеней вершин нечетной степени также четна. Значит, их четное число.