4.4.2 Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в графе

1. Положить и считать эту метку постоянной. Положить для всех , и считать эти метки временными. Положить .

2. Для всех с временными метками выполнить:

если , то и .

Иначе и не менять.

3. Пусть - множество вершин с временными метками . Найти вершину такую, что . Считать метку постоянной меткой вершины .

4. Положить . Если , то перейти к пункту 5, иначе перейти к пункту 2.

5. , - кратчайший путь.

Пример решения задачи нахождения кратчайшего пути

В простом взвешенном графе на рисунке 7.3.1 найти кратчайший путь из в , используя алгоритм Дейкстры.

x₂ 3 x₄ 6 x₇

6 6 7 5

x₀ 4 x₁ 9 x₈

3 x₅ 4 11

8 10

x₃ 7 x₆

Рисунок 4.5 - Простой взвешенный граф

Табли­ца 4.3 - Последо­вательное изменение меток вершин

	Метки
X0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
X1		4	4	4	4	4	4	4	4
X2		6	6	6	6	6	6	6	6
X3		8	7	7	7	7	7	7	7
X4			10	9	9	9	9	9	9
X5				13	13	13	13	13	13
X6					14	14	14	14	14
X7						15	15	15	15
X8							22	22	20

Таблица 4.4 - Последо­вательное изменение меток

	Метки
X1	0	0	0	0	0	0	0
X2	0	0	0	0	0	0	0
X3	0	1	1	1	1	1	1
X4		1	2	2	2	2	2
X5			2	2	2	2	2
X6				3	3	3	3
X7					4	4	4
X8						5	7

Из таблиц 4.3 и 4.4 можно определить кратчайший путь и его длину.

Длину кратчайшего пути в таблице 4.3 определяем по постоянной метке, которую имеет конечная вершина: вершина имеет постоянную метку равную 20, значит длина кратчайшего пути l ( )=20.

Сам кратчайший путь определяем из таблицы 4.4: метка последней вершины указывает на индекс вершины предшествующей ей и т.д. пока не дойдем до начальной вершины. Вершины в обратном порядке указывают кратчайший путь: .

l=6 l=9 l=15

x₂ 3 x₄ 6 x₇

6 6 7 5

x₀ 4 x₁ 9 x₈

3 l=4 x₅ l=13 4 11 l=20

8 10

x₃ 7 x₆

l=7 l=14

Рисунок 4.6 - Окончательное распределение меток и кратчайший путь