4.5.4 Транспортная задача

Транспортная задача – задача наиболее рационального распределения потока по дугам транспортной сети.

В зависимости от того, какой смысл придаётся весу дуги: либо стоимость провоза единицы груза, либо времени доставки груза, различают два типа транспортных задач:

1 задача - транспортная задача по критерию стоимости;

2 задача - транспортная задача по критерию времени.

Часто транспортная задача трактуется как задача по организации перевозки некоторого груза.

Считают, что есть пунктов отправки груза, пунктов потребления груза: , .

В пунктах отправки имеется груз в количестве , а в пунктах приёма необходимо получить груз .

Необходимо выполнение условия баланса:

Транспортная задача по критерию стоимости

Известно, что стоимость перевозки по дуге единицы груза .

Требуется определить - количество груза, который нужно перевести из в , чтобы обеспечить общую минимальную стоимость перевозки.

Задача решается исходя из теории потоков.

Введём обозначения:

- пропускная способность дуги из в ;

- стоимость прохождения единицы потока по дуге ;

- поток, проходящий по дуге .

Стоимость всего пути по дуге : .

Считают, что задана транспортная сеть с наибольшим потоком . Требуется пропустить по данной сети поток, не превышающий таким образом, чтобы общая стоимость прохождения потока была наименьшей, т.е. обеспечивался минимум:

где , поток по дуге не должен превышать пропускную способность.

Считаем, что - длина пути, тогда стоимость прохождения некоторого потока по пути из в равна: .

Существует два варианта решения транспортной задачи:

1 вариант. На пропускную способность дуг не накладывается никаких ограничений. Тогда задача решается простым нахождением кратчайшего пути.

2 вариант. На пропускную способность дуг накладываются ограничения. В этом случае задача решается методом частичных потоков.

Алгоритм метода частичных потоков

1. В простейшем графе ищем кратчайший путь из в , .

2. Пусть в результате пункта 1 определили путь , имеющий пропускную способность , т.е. .

3. Пропускаем по данному пути поток , так что

4. Производим замену пропускной способности дуг по правилу:

5. Поток, который необходимо пропустить по транспортной сети, уменьшаем на , .

6. Исключаем из дальнейшего рассмотрения дуги, у которых .

7. Рассматриваем новый граф , как частичный граф исходного и переходим к пункту 1 для пропуска по транспортной сети потока .

Данные потоки и т.д., полученные на определённых шагах итерации называются частичными потоками.

8. Алгоритм останавливается, когда , .

Общая стоимость перевозки определяется по формуле (1).

Решение данной задачи основано на определении кратчайшего пути в графе, который определяется для каждого частичного графа, в частности по алгоритму Дейкстры.

Пример решения транспортной задачи по критерию стоимости

Имеется однородный груз в трёх пунктах отправления. Требуется доставить груз в четыре пункта назначения при соблюдении условия баланса. Стоимость перевозки . Т.е. сколько груза вести из каждого пункта отправления в пункт назначения, чтобы стоимость перевозки была минимальной.

Таблица 4.11 – Таблица стоимости и количества перевозимого груза

		5	10	20	15
	10	8	3	5	2
	15	4	1	6	7
	25	1	9	4	3

1.Проверяем условие баланса: .

2.Строим транспортную сеть. Выбираем начальную вершину и соединяем её с вершинами дугами с пропускной способностью равной а_i. Вершины соединяют с выходом сети с пропускной способностью равной . Считаем, что стоимость перевозки из в и из в равна нулю.

3. Находим кратчайший путь из в . Присваиваем всем вершинам метку 0. Начиная с вершины присваиваем всем вершинам метку, которая равна стоимости перевозки груза по соединяющей их дуге. Рядом с меткой ставим вершину, из которой была присвоена метка. Проводя следующую индексацию из , заменяем метки вершин , если стоимость дуги меньше, чем метка, которую имеет вершина. Метку делаем постоянной. Заканчиваем индексацию, когда пройдены все вершины . Из меток вершин выбираем минимальную и присваиваем метку выходу сети . По вершинам возле постоянных меток возвращаемся назад и отмечаем кратчайший путь.

4. Применяем алгоритм метода частичных потоков.

x₁ 8 y₁

10 3 5

4

1

2 5 y₂ 10

6

x₀ 15 x₂ z

7 y₃ 20

25 1 9 15

x_{3 4} y₄

3

Рисунок 4.12 – Транспортная сеть для таблицы 4.11

1-ый этап. Кратчайший путь: .

Стоимость по дуге: .

Частичный поток: . Стоимость груза: .

Осталось груза: .

x₁ y₁

10 5

y₂ 10

x₀ 15 x₂ z

y₃ 20

25 15

x₃ y₄

Рисунок 4.13 – Первый путь перевозки груза по ТС

x₁ y₁

10

y₂ 10

x₀ 15 x₂ z

y₃ 20

20 5 15

x₃ y₄

Рисунок 4.14 – Второй путь перевозки груза по ТС

x₁ y₁

10

y₂

x₀ 5 x_{2 10 ыы}z

y₃ 20

20 5 15

x₃ y₄

Рисунок 4.15 – Третий путь перевозки груза по ТС

x₁ y₁

10

y₂

x₀ 5 x₂ 10 z

y₃ 20

20 5 5

x₃ y₄

Рисунок 4.16 – Четвёртый путь перевозки груза по ТС

x₁ y₁

10

y₂

x₀ 5 x₂ 10 z

y₃ 20

15 5

x₃ y₄

5

Рисунок 4.17 – Пятый путь перевозки груза по ТС

x₁ y₁

10

y₂

x₀ 5 x₂ 10 z

y₃ 5

5 15

x₃ y₄

5

Рисунок 4.18 – Шестой путь перевозки груза по ТС

Таблица 4.12 – Решение транспортной задачи в виде таблицы

	1	2	3	4	5	5
	1	10	10	5	15	5
	1	1	2	3	4	6
	5	10	20	15	60	30
	45	35	25	20	5	0

Стоимость перевозки всего груза:

.

Транспортная задача по критерию времени

Дана транспортная сеть с некоторым распределением потока φ_z (см. транспортную сеть, полученную в результате решения транспортной задачи по критерию стоимости).

Задача:

Найти такое распределение потока, которое бы обеспечивало минимальное время его распределения T_min.

Здесь веса дуг трактуются как время, необходимое для доставки груза по данной дуге: d_ij = t_ij .

Решение заключается в следующем:

1) Находится некоторое распределение потока φ_z по дугам транспортной сети. Т.е. получаем некоторый частичный граф G₁’, в который включаются дуги, участвующие в передаче потока. Каждая из этих дуг входит в состав пути из x₀ в z и определяет время прохождения данного потока t_μ . Таких путей x₀ в z может быть конечное множество:

G₁’ = { μ₁, μ₂, … , μ_n }, которым соответствует время прохождения по пути

Т = { t_μ1, t_μ2, … , t_μn }.

Общее время прохождения потока:

Т = max t_μ. μ  G₁^’

Для нашего случая, когда Т = max {1, 1, 2, 3, 6, 4} = 6.

Т.о. Т_min = min T = min max t_μ – минимакс.

2) Находим частичное решение. Выведем из графа G₁’ наиболее продолжительный путь и введем ранее неиспользованные дуги, у которых вес меньше, чем у выведенной дуги. Во вновь образованном графе G₂’ перераспределим исходный поток φ_z, используя алгоритм нахождения максимального потока в графе (Форда и Фалкерсона). Этот пункт повторяем до тех пор, пока выведенные пути наибольшей продолжительности будут возмещаться новым распределением потока φ_z.

Для обеспечения сквозной нумерации при индексации вершин перенумеруем вершины y_j таким образом:

y_j : = x_{n + j}.

Для нашего примера: y_j : = x_{3 + j}.

x₁ y₁ = x₄

10 3 5

4

1

2 5 x₅ 10

x₀ 15 x₂ z

x₆ 20

25 1 ₄ 15

x_{3 3} x₇

Рисунок 4.19 – Преобразованная транспортная сеть

После исключения дуги (х₂, х₆) со временем прохождения по ней

t = 6 результирующий поток транспортной сети уменьшается на 5 единиц:

φ_z^’ = φ_z – 5 = 50 – 5 = 45.

К полученному графу добавляем дуги, которые не участвовали в исходном распределении потока, но с длиной меньше 6:

(х₂, х₄), (х₁, х₅), (х₁, х₆) – Т = {3, 5, 4}.

Перераспределим 5 единиц потока, используя данные дуги, пропустив его по пути  = (х₀, х₂, х₄, х₃, х₆, z), применив алгоритм Форда и Фалкерсона нахождения максимального потока в транспортной сети.

Получаем φ_z^’’ = φ_z^’ + 5 = 45 + 5 = 50 = φ_z.

При этом Т₂ = max ­{t₁₄, t₂₁, t₂₂, t₃₃, t₃₄} = {2, 4, 1, 4, 3} = 4.

Таким образом граф G₂ будет иметь следующий вид:

x₁ y₁ = x₄

10 5

4

1

2 (5) (10) x₅ 10

x₀ 15 x₂ z

(10) x₆ 20

25 _{4 (20)} 15

x_{3 3 (5)} x₇

Рисунок4.20 – Граф G₂ после перераспределения 5 единиц потока

Примечание: Если суммарный поток по дуге (х_i y_j) и (y_j х_i) равен 0, то данная дуга отбрасывается. В нашем примере это дуга (х₃ х₄).

Таблица 4.13 – Решение транспортной задачи по критерию стоимости

	1	2	3	4	5	6
	10	0	10	5	20	5
	1	1	2	3	4	4
	10	0	20	15	60	20
t μ	1	1	2	3	4	0

Таким образом, алгоритм решения данной задачи следующий:

1. Найти начальное распределение потока в транспортной сети, решив, например, транспортную задачу по критерию стоимости. Найти время прохождения потока в данном распределении t_.

2. Построить новый граф, исключив из начального дугу, обеспечивающую максимальное время прохождения потока, и добавив ранее неиспользуемые дуги, у которых t_ij < t_.. При этом поток, проходящий по новому пути, будет меньше на величину потока, проходившего по вычеркнутой дуге.

3. Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети по алгоритму Форда и Фалкерсона. Если удастся пропустить весь заданный поток, то перейти к пункту 2. Иначе алгоритм останавливается. Минимальное время прохождения потока будет определяться последним временем прохождения исходного потока.