К вопросу: понятие о закономерностях распределения

Распределение непрерывной случайной величины х называют нормальным, если соответствующая ей относительная плотность распределения (ордината кривой нормального распределения) (φ(x)) выражается формулой

(6.11)

где х – значение изучаемого признака;

- средняя арифметическая ряда;

σ² – дисперсия значений изучаемого признака;

σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

π = 3,1415 – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);

е = 2,7182 – основание натурального логарифма.

Для конкретного распределения среднее значение признака и среднее квадратическое отклонение σ являются постоянными величинами.

Кривая нормального распределения характеризуется тем, что: координаты ее вершины соответствуют точке ; ; координаты точки перегиба левой ветви кривой - , правой - ; в пределах находится 68,3 % всех значений

признака, в пределах - 95,44 %, в пределах - 99,73 % значений признака; и т.д.

Графическое изображение кривой нормального распределения показано на рис. 6.1.

Пользоваться функцией нормального распределения в ее первоначальном виде сложно, так как для каждой пары значений и σ необходимо создавать свои таблицы значений. Поэтому функцию стандартизируют и затем используют для обработки рядов распределения, для чего вво-

f(x)

х

-σ σ

Рисунок 6.1 - Кривая нормального распределения

дится понятие стандартного отклонения t_i: . Тогда относительная плотность нормального распределения рассчитывается по формуле

. (6.12)

Выражение состоит из констант, не содержит параметров и называется стандартизированной функцией нормального распределения. Для нее разработаны специальные таблицы, позволяющие находить конкретные значения при различных значениях аргумента t_i. Исходная функция нормального распределения связана со стандартизированной соотношением: .

Для получения частот теоретического распределения необходимо иметь в виду, что относительная плотность распределения связана с одной стороны с частотой , а с другой – со стандартизированной функцией нормального распределения . Эти связи выражаются следующими зависимостями: с одной стороны, , где , следовательно ; с другой, - , таким образом, имеет место равенство: , отсюда

, (6.13)

где - частота теоретического распределения;

h_i – ширина интервала;

N – объем статистической совокупности;

σ – среднее квадратическое отклонение;

- стандартизованная функция нормального распределения.

Полученные значения округляют до целых значений в соответствии со смыслом характеристики частоты.

Расчетное значение «хи-квадрат» - критерия ( ) определяется по формуле

, (6.13)

где и - соответственно частота эмпирического (фактического) и теоретического распределения;

n – количество групп, на которые разбита вся совокупность.

Для оценки существенности расчетной величины «хи-квадрат» - критерия (χ_р²) она сравнивается с табличным (критическим) значением «хи-квадрат» - критерия (χ_к²), определяемым по статистическим таблицам значений χ² – критерия. Если , то считают, что распределения близки друг другу, различия между ними несущественны.

Критерий Пирсона можно использовать, если Ν ≥ 50 и f_i,т ≥ 5.

Расчетное значение критерия Романовского (С) рассчитывается по формуле

, (6.14)

где χ_р² – расчетная величина «хи-квадрат» - критерия;

n – количество групп, на которые разбита вся совокупность.

Эмпирическое и теоретическое распределение признаются близкими друг другу, если С < 3.

Расчетное значение «лямбда» - критерия ( ) определяется по формуле

, (6.15)

где D – максимальная разница (по модулю) между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами и : ;

N – общий объем исследуемой совокупности.

По рассчитанному значению λ_р по специальной таблице вероятностей «лямбда» - критерия определяется вероятность того, что рассматриваемое эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения.