Пример расчета средней квадратической

Имеются три земельных участка со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ = 300 м. Необходимо определить среднюю величину стороны участков.

Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300) : 3 = 200 м дает неверный результат, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3 ∙ 200² = 120000 м², в то время как площадь исходных трех участков равна: 100² + 200² + 300² = 140000 м². Именно эту суммарную площадь участков дает средняя величина, рассчитанная по методике средней квадратической: м.

Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, используют среднюю кубическую.

Средняя хронологическая величина, рассчитываемая по формуле

(4.26)

Пример расчета средней хронологической величины приведен в теме 8.

Пример применения правила выбора формы средней величины качественного признака

При выполнении типологической группировки (см. табл. 3.3) отмечалось, что среднюю урожайность зерновых культур по группам предприятий и их совокупности в целом рассчитать невозможно из-за отсутствия данных о размерах посевных площадей предприятий. Тем не менее, отталкиваясь от логической формулы урожайности, рассчитаем среднюю урожайность зерновых культур по группам сельскохозяйственных предприятий (государственным, коллективным и фермерским) и совокупности сельхозпредприятий региона в целом.

Урожайность зерновых культур рассчитывается делением суммы валового сбора зерновых культур на величину посевных площадей, с которых снят этот урожай.

Так как валовой сбор известен, а величина посевных площадей – нет, но может быть найдена путем деления валового сбора по конкретному предприятию на урожайность, выращенных им зерновых культур, и суммирования полученных результатов, то для расчета средней урожайности по группе предприятий используется формула средней гармонической взвешенной (правило 2).

Средняя урожайность зерновых культур государственных предприятий равна

ц/га.

Средняя урожайность зерновых культур коллективных предприятий равна

ц/га.

Средняя урожайность зерновых культур фермерских хозяйств равна

ц/га.

Результаты расчетов абсолютно подтверждают выводы, сделанные по результатам группировки в примере к теме 3, относительно того, что урожайность зерновых культур государственных предприятий самая низкая, фермерских хозяйств – самая высокая. Кроме того, расчеты показали, что посевные площади государственных предприятий значительно превышают посевные площади коллективных и фермерских хозяйств (см. знаменатели выше приведенных соотношений).

Для того чтобы показать применение первого и третьего правила выбора формы средней величины качественного признака по результатам расчетов средней урожайности зерновых культур по группам предприятий различных организационно-правовых форм, составим таблицу 4.7 с двумя вариантами исходных данных для расчета средней урожайности зерновых культур по всем сельхозпредприятиям региона.

Таблица 4.7 - Исходные данные для расчета средней урожайности зерновых культур

сельхозпредприятий одного региона

Группы сельскохозяйственных предприятий по организационно-правовой форме	Вариант 1		Вариант 2
	Посевная площадь, га	Средняя урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц	Посевная площадь, га
Государственные предприятия Коллективные предприятия Фермерские хозяйства	28227,4 41471,1 2430,8	20,6 23,3 30,6	580828,0 966723,7 74275,0	28227,4 41471,1 2430,8
Всего	72129,3	-	1621826,7	72129,3

Первый вариант исходных данных позволяет рассчитать среднюю урожайность зерновых культур по региону по формуле средней арифметической взвешенной (правило 1), так как известны численные значения знаменателя логической формулы урожайности (посевные площади), а значения числителя (валового сбора) не известны, но могут быть найдены как произведения средней урожайности предприятий соответствующих организационно-правовых форм на их посевные площади.

= 22,5 ц/га.

Второй вариант исходных данных позволяет рассчитать среднюю урожайность зерновых культур по региону по логической формуле урожайности (правило 3), так как известны численные значения и ее числителя (валовой сбор) и ее знаменателя (посевные площади).

ц/га.

Таким образом, средняя урожайность зерновых культур сельскохозяйственных предприятий одного региона составила 22,5 ц/га.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить ее расчет:

1. . (4.27)

2. (4.28)

или

. (4.29)

3. . (4.30)

4. Если веса средней взвешенной величины умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины меньше, чем от любого другого числа.