37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте­грала. Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

x = φ(u;v) и у = ψ(и;v).

I(u;v) =

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv не­прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

JJ f(x;y)dxdy = JJ f(φ(u;v);ψ(u;v))*|I(u;v)|du dv D D*

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик).

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используе­мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат хиу полярными координатами r и φ.

В качестве и и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами х = rcosφ, у = rsinφ.

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируе­мые функции. Якобиан преобразования определяется из как

I(r;φ) =

= = r

Формула замены переменных принимает вид: JJ f(x;y)dxdy =JJ f(rcosφ;rsinφ) • r • drdφ, где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при­меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область D* имеет вид, изображенный на рисунке (ограничена лу­чами φ = а и φ = β, где α < β, и кривыми r = r1(φ) и r = r₂(φ), где область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы можно записать в виде:

JJ f(rcosφ;rsinφ) • r • drdφ=

О

Внутренний интеграл берется при постоянном φ.

Замечания.

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль­ная функция имеет вид f(x² + y²); область D есть круг, кольцо или часть таковых.

2. На практике переход к полярным координатам осуществляет­ся путем замены х = rcosφ, у = rsinφ, dxdy = rdrdφ; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж­ные пределы интегрирования по r и φ.

38. Приложения двойного интеграла.

1.Объем тела

объем цилиндрического тела

где z = f(x; у) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2.Площадь плоской фигуры

Если (x;у) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D: или, в полярных координатах, 3.Масса плоской фигуры

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле:

4.Статические моменты

Статические моменты фигуры D относительно Ох и Оу могут быть вычислены по формулам: и

5.Моменты инерции плоской фигуры Момент инерции мат. точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е . Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

и Момент инерции относительно начала координат