67. Классическое вероятностное пространство

Классическое вероятностное пространство - математическая модель случайного явления, число исходов которого конечно и все они равновозможны (т.е. все элементарные события равновероятны).

Ω={ω₁ , ω₂,… ω_n }, A=P(Ω) , P(ω_i )= , i=1,2, … ,n

Здесь и в дальнейшем будет обозначать множество всех подмножеств множества . На любом подмножестве из определим вероятность P следующим образом:

=

где |Ω|- число всех элементарных событий; |A|- число элементарных событий, принадлежащих А. Несложно убедиться, что функция P удовлетворяет всем аксиомам вероятности. Оно носит название классической вероятности.

Модель классического вероятностного пространства применяются в таких ситуациях, когда элементарные события равновероятносты в том смысле, что испытания проходят при одинаковых условиях. Например, результат бросания кости или монеты "симметричен" по отношению к выпадению некоторого числа очков на игральной кости или определенной стороны монеты. Эти же условия должны соблюдаться при правильной организации жеребьевки и тиража лотереи.

68.Теорема сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления суммы совместных событий Аи В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления : Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где Р(АВ) – вероятность произведения (совместного появления) событий А и В.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, вероятность суммы трёх событий : Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

Более простой вид теорема имеет для случая несовместных событий, т.к. произведение несовместных событий является невозможным событием ( они не могут произойти вместе в одном и том же опыте). Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий : Р(А+В) = Р(А) + Р(В). При решении задач во многих случаях удобно представить событие в виде суммы несовместных событий.

Следствие 1. Вероятность суммы n попарно несовместных событий А1, А2, … , Аn равна сумме их вероятностей: Р(А₁+А₂+…+А_n) = Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий, равна единице Р(А)+Р(А’) =1, а следовательно, вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, т.е. Р( А’ ) = 1 – Р(А) . (A’ – противоположное )

Теория умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого при условии, что первое произошло : Р(АВ)=Р(А)*Р(В|А)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли : Р(А₁А₂ А₃ …А_n)=Р(А₁)*Р(А₂ | А₁)*Р(А₃ | А₁А₂)…Р(А_n | А₁А₂…А_n-1 )

Событие А называется независимым от события В, если Р(А|В)=Р(А), т.е. если вероятность появления события А не зависит от появления или непоявления события В. При этом если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, поэтому говорят просто, что события А и В независимы.

События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании, т.е. они не могут произойти вместе в одном испытании.