- •1.Опред. Ф-ции неск. Перем. Предел и непрер. Ф-ции.
- •2.Частные произв. И частные дифференциалы ф-ции двух переменных.
- •3. Производные сложных и неявно заданных ф-ций. Примеры.
- •4.Понятие дифференцируемости ф-ции двух переменных. Полный диффер.
- •5.Производная по направлению. Градиент .
- •6. Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
- •7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8 . Экстремумы функций двух переменных.
- •9. Нахождение наибольшего и наименьшего значений на компакте. Понятие об условном экстремуме.
- •Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрически смысл ои.
- •12.Интегралы с переменным верхним пределом.
- •14.Замена переменной в ои.
- •15.Интегрирование по частям в ои.
- •16. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •2) Интегрирование по (-∞;b] — полуоси
- •4) V.P. Интеграл
- •17. Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •18. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат. Примеры
- •19. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры
- •20. Длина дуги кривой. Примеры
- •24. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрическая интерпретация. Теорема существования.
- •25. Ду с разделяющимися переменными и однородные.
- •26.Линейные ду и способы их решения.
- •27. Ду второго порядка, допускающие понижение порядка. Примеры
- •28. Ду второго порядка. Общие понятия примеры
- •29. Линейные ду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •32. Система линейных ду и их решения методом сведения к ду
- •33.Двойной интеграл. Осн. Понятия и определение
- •34. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
- •35. Основные свойства двойного интеграла
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •38. Приложения двойного интеграла.
- •1.Объем тела
- •2.Площадь плоской фигуры
- •4.Статические моменты
- •39.Тройной интеграл. Основные понятия
- •40. Вычисление тройного интеграла в декартовых системах
- •41.Замена переменной в тройном интеграле.
- •4 2.Приложения тройного интеграла
- •43. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
- •44. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и вычисление. Связь между кри 1 и кри2.
- •45. Приложения кри 1-го рода (длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, масса кривой, статистические моменты).
- •46. Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал.
- •47. Приложения кри 2-го рода(площадь плоской фигуры, работа переменной силы).
- •49. Ротором (или вихрем) векторного поля
- •52. Формула Стокса. Если функции р(х; у; z), q(X у; z) и r(X у; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности s, то имеет место формула
- •53. Основные понятия теоории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •55. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера
- •56. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши. Степенной признак сравнения.
- •57. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •58.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60.Теорема Абеля(о сходимости степенных рядов)
- •62.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •63. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
- •64. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функции, определенных интегралов.
- •65.Приближенное решение ду.
- •66. Дискретное вероятностное пространство
- •67. Классическое вероятностное пространство
- •68.Теорема сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события.
- •69. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •70. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом.
- •71. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.
- •72.Непрерывные случайные величины и способы их задания. Равномерное, показательное распределение.
- •73. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Определение случайной величины.
- •74. Свойства плотности распределения св. Примеры. Ряд распределения
- •75. Математическое ожидание св и его свойства
- •76. Дисперсия св и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.
- •78 Нормальный закон распределения. Правило «трех сигм».
- •79 Схема Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •82.Числовые характеристики двумерной случайной величины:
- •83.Условия независимости случайных величин:
- •84 Коэффициент корреляции св и его свойства.
- •85.Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли
33.Двойной интеграл. Осн. Понятия и определение
Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей», площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через di
В каждой области D, выберем произвольную точку Mi(xi;yi), умножим значение f(xi;yi) функции в этой точке на Si и составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что max di -> 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается JJ f(x;y)dxdy
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
JJ f(x;y)dxdy=
Вэтом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D — область интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dxdy (или dS) — элемент площади.
Теорема. (дост. Условие интегр. Ф-ии.)
Если функция z = f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
Замечания.
Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям. При этом Si = xi* yi.
34. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x; у) 0, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D. Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через , получим
V=
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Mi(xi,yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой Zi = f(xi; y). Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. f(xi,yi) • Тогда получаем:
V=
Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» Di, Естественно принять предел суммы при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (п ), а каждая площадка стягивается в точку (max di 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.
V= или V=
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу т плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность γ = γ (х; у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Di, площади которых обозначим через . В каждой области Di возьмем произвольную точку Mi(xi,yi) и вычислим плотность в ней: γ = γ (хi; уi)
Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения γ (хi; уi). Считая приближенно плотность в каждой точке области Di постоянной, равной γ (хi; уi), можно найти ее массу mi: mi . Так как масса т всей пластинки D равна m = то для её вычисления имеем приближенное равенство
Точное значение массы: m=
Итак, двойной интеграл от функции γ (х; у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию γ (х; у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.