44. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и вычисление. Связь между кри 1 и кри2.

КРИ-2 общий вид

Если кривая гладкая, а функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны на кривой АВ, то КРИ-2 существует.

Основные свойства КРИ-2

1. При изменении направления пути интегрирования КРИ-2 изменяет свой знак

2. Если АВ разбита на две части АС и СВ, то

3. Если АВ лежит в плоскости, перпендикулярной ох и оу, то

Ох: Оу:

4. КРИ по замкнутой прямой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой):

45. Приложения кри 1-го рода (длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, масса кривой, статистические моменты).

Длина кривой:

Площадь цилиндрической поверхности(z=f(x,y)):

Маса кривой: , где -плотность в точке М.

Статистические моменты относительно осей Ох и Оу:

46. Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал.

Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие .

Если выполнено условие , то подынтегральное выражение P(x,y)dx+ Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u=u(x,y), т.е.

Если подынтегральное выражение Pdx+ Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то .

47. Приложения кри 2-го рода(площадь плоской фигуры, работа переменной силы).

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L: , при этом криваяL обходится против часовой стрелки.

Работа переменной силы. Переменная сила на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле: .

48.Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Скалярное поле - это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор а = а(М), то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки). Если функция не зависит от времени, то поле называется стационарным.

Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля ротор равен нулю ,т.е. rot = О. Свойства:

1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой L с началом в точке И концом В точке зависит только от положения точек и и не зависит от формы кривой.

3. Потенциальная пале является полем градиента некоторой скалярной функции U(x;y;z), т. е. если rat = О, то существует функция U (х; у; z) такая, что = grad U. Следовательно, а = P + Q + R = = gradU

Криволинейный интеграл по замкнутом контуру L от скалярного произведения вектора на вектор , касательный к контуру L,называется циркуляцией вектора вдоль L, т. е.

Циркуляция С, записанная в виде

имеет простой физический смысл; если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция- это работа силы (М) поля при перемещении материальной точки вдоль L.