59. Функциональные ряды. Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:

(1)

Придавая x определенное значение x₀ , мы получим числовой ряд

u₁(x₀)+u₂(x₀)+…+u_n(x₀)+…,который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка x₀ называется точкой сходимости ряда (1); если же ряд расходится-точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента x , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x: S=S(x).Определяется она в области сходимости равенством

S(x)=lim(n→∞)S_n(x), где S_n(x)=u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)- частичная сумма ряда.

60.Теорема Абеля(о сходимости степенных рядов)

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга  (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при   — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке  . Тогда он сходится равномерно по   на отрезке, соединяющем точки 0 и  . 61.Свойства степенных рядов

Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов: 1.Сумма S(x) степенного ряда S(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+…+an(x-a)^n+… (1) является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R). 2. Ряд φ(x)=a1+2a2(x-a)+…+na_n(x-a)^(n-1)+…, (2) полученный почленным дифференцированием ряда (1), является степенным рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда (2) φ(x)=S'(x). Замечание. Ряд (2) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна φ' (x)=S''(x), и так далее. Таким образом, сумма S(x) ряда (1) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости(a-R;a+R) . Сумма ряда, полученного из ряда (1) n-кратным дифференцированием равна S⁽ⁿ⁾ (x). Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется. 3. Пусть числа α и β принадлежат интервалу сходимости (a-R;a+R) ряда (1). Тогда имеет место равенство

62.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Для любой функции f(x),  определенной в окрестности точки х₀ и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

Где , c принадлежит(x_0,x)-остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде c=x₀+α(x-x_o), где 0<α<1.Формулу кратко можно записать в виде

Где -многочлен Тейлора.

Если функции f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки x₀ и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при n→∞, то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (x-x₀), называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить x₀=0, то получим разложение функции по степеням x в ряд Маклорена:

Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при n→∞ , т.е. чтобы lim(n→∞)R_n(x)=0.

Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x₀ одним и тем же числом M>0, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x) , т.е. имеет место разложение.