- •1.Опред. Ф-ции неск. Перем. Предел и непрер. Ф-ции.
- •2.Частные произв. И частные дифференциалы ф-ции двух переменных.
- •3. Производные сложных и неявно заданных ф-ций. Примеры.
- •4.Понятие дифференцируемости ф-ции двух переменных. Полный диффер.
- •5.Производная по направлению. Градиент .
- •6. Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
- •7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8 . Экстремумы функций двух переменных.
- •9. Нахождение наибольшего и наименьшего значений на компакте. Понятие об условном экстремуме.
- •Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрически смысл ои.
- •12.Интегралы с переменным верхним пределом.
- •14.Замена переменной в ои.
- •15.Интегрирование по частям в ои.
- •16. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •2) Интегрирование по (-∞;b] — полуоси
- •4) V.P. Интеграл
- •17. Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •18. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат. Примеры
- •19. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры
- •20. Длина дуги кривой. Примеры
- •24. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрическая интерпретация. Теорема существования.
- •25. Ду с разделяющимися переменными и однородные.
- •26.Линейные ду и способы их решения.
- •27. Ду второго порядка, допускающие понижение порядка. Примеры
- •28. Ду второго порядка. Общие понятия примеры
- •29. Линейные ду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •32. Система линейных ду и их решения методом сведения к ду
- •33.Двойной интеграл. Осн. Понятия и определение
- •34. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
- •35. Основные свойства двойного интеграла
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •38. Приложения двойного интеграла.
- •1.Объем тела
- •2.Площадь плоской фигуры
- •4.Статические моменты
- •39.Тройной интеграл. Основные понятия
- •40. Вычисление тройного интеграла в декартовых системах
- •41.Замена переменной в тройном интеграле.
- •4 2.Приложения тройного интеграла
- •43. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
- •44. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и вычисление. Связь между кри 1 и кри2.
- •45. Приложения кри 1-го рода (длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, масса кривой, статистические моменты).
- •46. Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал.
- •47. Приложения кри 2-го рода(площадь плоской фигуры, работа переменной силы).
- •49. Ротором (или вихрем) векторного поля
- •52. Формула Стокса. Если функции р(х; у; z), q(X у; z) и r(X у; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности s, то имеет место формула
- •53. Основные понятия теоории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •55. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера
- •56. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши. Степенной признак сравнения.
- •57. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •58.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60.Теорема Абеля(о сходимости степенных рядов)
- •62.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •63. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
- •64. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функции, определенных интегралов.
- •65.Приближенное решение ду.
- •66. Дискретное вероятностное пространство
- •67. Классическое вероятностное пространство
- •68.Теорема сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события.
- •69. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •70. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом.
- •71. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.
- •72.Непрерывные случайные величины и способы их задания. Равномерное, показательное распределение.
- •73. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Определение случайной величины.
- •74. Свойства плотности распределения св. Примеры. Ряд распределения
- •75. Математическое ожидание св и его свойства
- •76. Дисперсия св и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.
- •78 Нормальный закон распределения. Правило «трех сигм».
- •79 Схема Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •82.Числовые характеристики двумерной случайной величины:
- •83.Условия независимости случайных величин:
- •84 Коэффициент корреляции св и его свойства.
- •85.Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли
69. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если событие А может наступить при появлении одного из n попарно несовместных событий (гипотез) Н1, Н2,…Нn, образующих полную группу событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности :
Р(А)=Р(Н1)Р(А|Н1)+Р(Н2)P(А|Н2)+…+Р(Нn)Р(А|Нn).
Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.
Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть пересчитаны по формуле Байеса: если вероятности гипотез до опыта были Р(Н), Р(Н),…,Р(Н), а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность Р(НА) гипотезы Н пи условии осуществления события А вычисляется по формуле:
70. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом.
Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0<= P (A) <=1
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1. P (A) =1
Аксиома 3. Если события A1, A2,...,An попарно несовместимы, то P(A1 + A2 +...+ An) = P(A1) + P(A2) +...+ P(An).
Следствия из аксиом :
1.Вероятность невозможного события равна нулю: P( ) = 0.
2. Для любого события А: P( А’ ) = 1 - P(A). Где А’ - противоположное
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).
71. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.
Величина, принимающая в результате испытания (опыта) числовое значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S=х1, х2,… такое, что Р(ХS)=1. Числа х1, х2,…называются возможными значениями СВ Х.
Для того чтобы задать дискретную СВ ξ, достаточно перечислить все её возможные значения и указать, с какими вероятностями она их принимает. Тогда закон распределения удобно задать в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения х1, х2, …,хm,… СВ ξ и соответствующие им вероятности рm=Р(ξ=х),=1,2,…
ξ |
х1 |
x2 |
… |
хm |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pm |
… |
Эта таблица называется рядом распределения дискретной СВ.( рm>=0,р1+р2+…+рm+…=1)
СВ ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0,1,2,…n с вероятностями Р(ξ=m)= , m=0,1,2,…,n, где 0<p<1, q=1-p
Биномиальный закон распределения имеет место в том случае, когда СВ ξ выражает число появлений события А( число успехов) при n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли.
Математическое ожидание и дисперсия СВ ξ, распределённой по биномиальному закону, вычисляются по формулам: М ξ=np , D ξ=npq
Дискретная СВ ξ имеет распределение Пуассона с параметром а, если она принимает значения 0,1,2,…m,… с вероятностями
, m=0,1,2,…m,…
Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределённой по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру а, т.е. Мξ=Dξ=a.
Геометрическим распределением с параметром р называется распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:
ξ |
1 |
2 |
… |
k |
… |
Р |
p |
qp |
… |
qk-1 p |
… |
Для дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, Mξ =1/p, D ξ =q/p2.