12.Интегралы с переменным верхним пределом.

Предположим, что ф-ция f интегрируема по [a,b] и рассмотрим ф-цию F(x)= , x€[a,b]. Можно показать, что в случае интегрирования f, ф-ция F явл.непрерывной, более того имеет место теорема о диффиринц. интеграла по переменному верхнему пределу: если ф-ция f непрер.на [a,b], то сущ-ет производная d/dx . Сх.док: ( = = = = . Теорема справедлива для каждого значения х, в кот.f(x) непрерывна.

13.Ф-ла Ньютона-Лейбница.

F непрерывна на [a,b] → =F(x) =F(b)-F(a)=[ ] . Где F-первообразная f(x); a,b-верхний и нижний пределы интегрирования. Данная ф-ла связывает определенный интеграл с неопределенным. Пример: =1/2ln|1+x²|| =1/2ln2-1/2ln1=1/2ln2

=1/2ln|1+x²|+C.

14.Замена переменной в ои.

Пусть дан интеграл: , где ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Введем новую переменную t по ф-ле x=φ(t). Если 1)φ(α)=a, φ(β)=b; 2) φ(t) и φ’(t) непрерывны на отрезке [α,β]; 3)f[φ(t)] определена и непрерывна на отрезке [α,β], то = . При вычислении ОИ по этой ф-ле не надо возвращаться к старой переменной. Если мы вычислим второй из ОИ этого равенства, то получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл.

Пример:

=[x=cost, dx=-sintdt, 0=cost₀, 1=cost₁, t₀=π/2, t₁=0]=- = =1/2*π/2=π/4.

15.Интегрирование по частям в ои.

Пусть u и v –дифференцируемые ф-ции от x. тогда (uv)’=u’v+uv’. Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b получим:

= + .(1) Т.к. =uv+C, то =uv| , поэтому равенство (1) м.б.записано в виде: uv| = + или окончательно = uv| - .

( =[u(x)v(x)]| - )

Пример: =[xlnx]| - =2ln2-0-x| =2ln2-1=ln(4/e).

16. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

1) Интегрирование по [a;+∞) — полуоси

Функция f(x) определена для всех x [a;+∞) и интегрируема на любом промежутке [a;b] [a;+∞), тогда

несобственным интегралом называется ,

если этот интеграл существует в случае когда этот предел конечен, интеграл наз. сходящимся к этому пределу, когда предел несущ. или бесконечен — расходящимся.

2) Интегрирование по (-∞;b] — полуоси

Функция f(x) определена для всех x (-∞;b] и интегрируема на любом промежутке [a;b] (-∞;b], тогда

несобственным интегралом называется ,

если этот интеграл существует в случае когда этот предел конечен, интеграл наз. сходящимся к этому пределу, когда предел несущ. или бесконечен — расходящимся.

3) Интегрирование по (-∞;+∞)

Функция f(x) определена для всех x (-∞;+∞) и интегрируема на любом промежутке [a;b] (-∞;+∞), тогда

несобственным интегралом называется ,

если этот интеграл существует в случае когда этот предел конечен, интеграл наз. сходящимся к этому пределу, когда предел несущ. или бесконечен — расходящимся.