39.Тройной интеграл. Основные понятия
О
бобщением
определенного интеграла на случай
функции трех переменных является так
называемый «тройной
интеграл».
Теория
тройного интеграла аналогична теории
двойного интеграла.
Пусть в замкнутой
области V пространства Oxyz задана
непрерывная функция u=f(x;y;
z). Разбив область V сеткой поверхностей
на n
частей
и выбрав в каждой из них произвольную
точку
,
составим
интегральную сумму
для
функции
f(х;
у; z) по области V (здесь
— объем элементарной области Vi).
Если
предел интегральной суммы существует
при неограниченном увеличении числа n
таким образом, что каждая «элементарная
область» Vi стягивается в точку (т. е.
диаметр области di
стремится к нулю), то его называют тройным
интегралом от функции u=f(x;y;
z) по области V
и обозначают
или
.Таким
образом, по определению (dv=dxdydz
– элемент объёма)
С
войства
тройного интеграла:
40. Вычисление тройного интеграла в декартовых системах
В
декартовых координатах вычисление
тройного интеграла сводится к
последовательному вычислению трех
определенных интегралов.
Пусть
областью интегрирования V является
тело, ограниченное снизу поверхностью
z
= z1(x;y), сверху — поверхностью z = z2(x;y),
причем z1(x;y) и z2{х;у) (z1(x;y) <= z2(х; у)) —
непрерывные функции в замкнутой области
D, являющейся проекцией тела на плоскость.
Будем считать область V — правильной в
направлении оси Oz: любая прямая,
параллельная оси Oz, пересекает границу
области не более чем в двух точках. Тогда
для любой непрерывной в области V функции
f(x; у, z) имеет место формула сводящая
вычисление тройного интеграла к
вычислению двойного интеграла от
однократного.
При
этом сначала вычисляется внутренний
интеграл по переменной z при постоянных
х и у в пределах изменения z. Нижней
границей интеграла является аппликата
точки А — точки входа прямой, параллельной
оси Oz в область V, т. е. z = z1 (х; у); верхней
границей — аппликата точки В — точки
выхода прямой из области V, т. е. z = z2(х;
у). Результат вычисления этого интеграла
есть функция двух переменных: х и
у.
41.Замена переменной в тройном интеграле.
4 2.Приложения тройного интеграла
43. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
Пусть
=max,
-
наибольшая из длин дуг деления. Если
при
(тогда
∞)
существует конечный предел интегральных
сумм, тогда он называется криволинейный
интеграл от функции f(x,y)
по длине кривой АВ и обозначают:
По
определению
Если f(x,y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то КРИ 1 рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.
Основные свойства КРИ 1 рода.
1.
2.
3.
4.Если путь интегрирования разбит на L1 и L2 (L1 пересекается с L2) и они имеют единственную общую точку
5.
Если
,
то
6.
7. Если f(x,y) непрерывна на АВ, то на этой кривой найдется точка(xc,yc) такая, что
теорема
о среднем