31) Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
1) d∫ ƒ(x) = ƒ(x)dx.
2) ƒ dF(x) = F(x) + C.
Эти два свойства вытекают из определения – Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом ∫ ƒ(х)dx.
Свойство 1) означает, что знаки d и ƒ взаимно сокращаются, если знак дифференциала d стоит перед знаком интеграла ∫. Свойство 2) означает, что знаки ∫ и d взаимно сокращаются и в случае, когда знак интеграла ∫ стоит знаком дифференциала d, но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную C.
Для установления свойства 1) достаточно взять дифференциал от обеих частей равенства ∫ ƒ(х) dx = F(x) + C и учесть, что d[F(x) + C] = dF(x) = F'(x)dx = ƒ(x)dx.
Для установления свойства 2) достаточно в левой части ∫ ƒ(х) dx = F(x) + C воспользоваться равенством dF(x) = f(x)dx.
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла:
3) ∫ [ƒ(x) ±g(x)]d(x) = ∫ ƒ(x)dx ± ∫ g(x)dx.
4) ∫ [Aƒ(x)]dx = A∫ ƒ(x)dx, если А – постоянная.
Равенство в формулах 3) и 4) носит условный характер: его следует понимать как равенство левой и правой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, стоящих в 3) и 4), определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого).
Так как две первообразные одной и той же функции могут отличаться только на постоянную, то для обоснования свойства 3) достаточно доказать, что если F (x) – первообразная функции ƒ(х), а G(x) – первообразная функции g(x), то функция
[F(x)±G(x)] является первообразной функции [ƒ(x) ±g(x)], но это сразу вытекает из равенства [F(x)±G(x)]' = F'(x)±G'(x) = ƒ(x) ±g(x).
Свойство 4) доказывается аналогично с использованием равенства [AF(x)]' = AF'(x) = Aƒ(x).
Таблица основных неопределенных интегралов.
Опираясь на понятие неопределенного интеграла, мы можем утверждать, что каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та или иная функция F(x) имеет производную, равную ƒ(x), приводит нас к соответствующей формуле интегрального исчисления ∫ ƒ(х)dx = F(x) + C.
Таблица) везде прибавлять С)
∫0dx = C.
∫1dx = x + C.
,
при
(x≠π/2
+πn,
где n
=0,±1,...).
при
(x±πn,
n=0,±1,...).
12)
(
в таблице вместо а - 1)
13)
( в таблице вместо а – 1)
Замечания:
Формула 4) – существует только при х≠0. Если х>0, то из формулы (lnx)'=1/x заключаем, что ∫dx/x = ln׀x׀ + C, а если х<0, то из формулы [ln(-x)]'=1/x заключаем, что ∫dx/x=ln(-x)+C.
Формула 12) и13) занимают там исключительное положение, так как не имеют аналогов в таблице производных. Для проверки справедливости – производные выражения, стоящие в их правых частях, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.
Элементарные функции ƒ(х), первообразные F(x) которых часто встречаются в приложениях и не являются элементарными функциями:
Функция
Лапласа.
Интегралы
Френеля.
и
Первообразную функции ƒ(х)=1/ln(x), определенную при х>0 и стремящуюся к нулю при х→0, называют интегральным логарифмом.
Первообразную функции ƒ(х)=sinx/x, обращающуюся в –π/2 при х=0, называют интегральным синусом. Обозначается символом si x.