Вопрос 12. Необходимое и достаточное условие непрерывности на сегменте строго монотонной ф-ии.

Теорема. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (соот-но убывает) на сегменте [a,b] и пусть альфа=f(a), бетта =f(b). Тогда, для того чтобы ф-я y=f(x) являлась непрерывной на сегменте [a,b], необходимо и достаточно, чтобы любое число гамма из сегмента [альфа, бетта] (соот-но из сегмента [бетта, альфа]) являлось значением этой ф-ии в некоторой точке с сегмента [a,b].

Условие существования для ф-ии строго монотонной и непрерывной обратной ф-ии.

Теорема. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (соот-но убывает) и непрерывна на сегменте [a,b] и пусть альфа=f(a), бетта=f(b). Тогда на сегменте [альфа, бетта] (соот-но на сегменте [бетта, альфа]) определена обратная для y=f(x) ф-я x=f(в степени -1)(y), которая возрастает (соот-но убывает) и непрерывна на указанном сегменте.

Сложная ф-я и ее непрерывность

Предположим, что на некотором множестве {t} задана ф-я x=фи(t) и что множество {x} явл-ся множеством ее значений. Тогда, если на множестве {x} задана ф-я y=f(x), то говорят, что на множестве {t} задана сложная ф-я y=f[фи(t)], характеристику которой можно обозначить и одной буквой F, т.е. можно записать , что y=f[фи(t)]=F(t).

Теорема. Если ф-я x=фи(t) непрерывна в точке t=a, а ф-я y=f(x) непрерывна в точке b=фи(a), то сложная ф-я y=f[фи(t)]=F(t) непрерывна в точке t=a.

Вопрос 13. Функциональный аналог теоремы о двустороннем ограничении.

Теорема. Если в некоторой проколотой сигма- окрестности точки а заданы три ф-ии f(x), h(x) и g(x), две из которых f(x) и h(x) имеют в точке а общий предел b , и если всюду в указанной проколотой сигма-окрестности точки а справедливы неравенства f(x)≤h(x)≤g(x), то и ф-я h(x) имеет в точке а предел, равный b.

Первый замечательный предел

Теорема. Предел ф-ии h(x)= sin x/x в точке х=0 существует и равен единице.

Второй замечательный предел

Теорема. Предел ф-ии f(x)= ((1+x) все в степени 1/x) в точке х=0 существует и равен е.

Вопрос 14. Классификация точек разрыва ф-ии.

1. Точка а наз-ся точкой устранимого разрыва ф-ии f(x), если предел этой ф-ии в точке а существует, но не равен ее частному значению f(a) в этой точке.

2. Точка а наз-ся точкой разрыва первого рода ф-ии f(x), если ф-я f(x) имеет в этой точке конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы.

3. Точка а наз-ся точкой разрыва второго рода ф-ии f(x), если хотя бы один из двух односторонних пределов ф-ии f(x) в этой точке либо не существует, либо является бесконечным.

Первая теорема Вейерштрасса

Теорема. Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она ограничена на этом сегменте.

Вопрос 15. Точная верхняя и точная нижняя грани ф-ии на сегменте.

Множество {f(x)} всех значений непрерывной на сегменте [a,b] ф-ии f(x) ограничено и сверху, и снизу. Поэтому у этого множества существуют точная верхняя грань М и точная нижняя грань м. Числа М и м принято называть соот-но точной верхней и точной нижней гранями ф-ии f(x) на сегменте [a,b] и обозначать символами M=sup(на сегменте a,b) f(x), m=inf(на сегменте [a,b]) f (x).

Теорема. Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то среди ее значений на этом сегменте имеются значения, равные ее точной верхней грани М и ее точной нижней грани м (т.е. на сегменте[a,b], существуют такие точки х1 и х2, что f(x1)=M, f(x2)=m ).

Равномерная непрерывность.

Ф-я f(x) наз-ся равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого положительного числа ипсилон найдется отвечающее ему положительное число сигма, обеспечивающее справедливость неравенства │f(x штрих) – f(x двойной штрих )│<ипсилон. Для любых двух точек х(штрих) и х(двойной штрих) множества {x}, удовлетворяющих условию │х(штрих)- х(двойной штрих)│<сигма.

Теорема Кантора. Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то оа и равномерна непрерывна на этом сегменте.