32)Основные методы интегрирования – замена переменной и по частям. Примеры.

Замена переменной является одним из самых эффективных методов интегрирования. Этот метод основан на утверждении: Если функция t= φ(x) определена и дифференцируема на множестве {х}, представляющем собой интервал, открытую полупрямую или бесконечную прямую g(t) имеет на множестве {t} первообразную, равную G(t), т.е.

∫ g(t)dt=G(t)+С, то функция g[φ(x)]·φ'(x) имеет на множестве {х} первообразную, равную G[φ(x)], т.е. на множестве {х} ∫ g [φ(x)]·φ'(x)dx=G[φ(x)]+C.

Справедливость этого утверждения вытекает из правила дифференцирования сложной функции¹ d/dx{G[φ(x)]}=G'[φ(x)]·φ'(x) и из того, что по определению первообразной G'(t)=g(t).

Интегрирование путем замены переменной.

Вычисляем неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx. Пытаемся выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию t= φ(x), что справедливо равенство

ƒ(х)= g [φ(x)]·φ'(x), причем интеграл ∫ g(t)dt=G(t)+С от функции g(t) легко вычислялся. Тогда доказанное утверждение позволяет написать для неопределенного интеграла

∫ƒ(x)dx следующее выражение: ∫ƒ(x)dx=G[φ(x)]+C.

Но такой прием не применим ко всякому интегралу, но даже если применим, выбрать правильно замену переменной в значительной мере способен грамотный вычислитель.

Пример:

∫ cos5xdx?

Замена: t=5x, dt=5dx, получаем ∫cos5xdx=1/5∫costdt=1/5sint + C=1/5sin5x+C.

Пример2: ∫(3x-7)¹⁹⁹⁹dx?

Замена: t=3x-7, dt=3dx. Получаем: ∫(3x-7)¹⁹⁹⁹dx=1/3∫t¹⁹⁹⁹dt=t²⁰⁰⁰/6000+C=(3x-7)²⁰⁰⁰/6000+C.

Пример3: ∫((arctgx)⁹⁹/1+x²)dx?

t=arctgx, dt=(1/(1+x²))dx.Получаем: ∫((arctgx)⁹⁹/1+x²)dx=∫t⁹⁹dt=t¹ºº/100+C=(arctgx)¹ºº/100+C.

Пример4: ∫e^sinx·cosxdx?

t=sinx, dt=cosx·dx. Получаем ∫e^sinx·cosxdx=∫e^t+C=∫e^sinx+C.

Пример 5: ∫dx/(a²+x²)^3/2?

С помощью тригонометрической подстановки: x=a·tgt, t=arctgx/a, dx=a(dt/cos²t).Получаем:

∫dx/(a²+x²)^3/2 =a∫1/([a²(1+tg²t)] ^3/2 · dt/cos²t=1/a² ·∫costdt=1/a²sint+C=1/a²·tgt/(√1+tg²t)+C=1/a²·x/(√a²+x²)+C.

Метод интегрирования по частям. Вторым эффективным методом интегрирования является метод интегрирования по частям, основанный на утверждении:

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве {х}, представляющем собой интервал, открытую полупрямую или бесконечную прямую, и если функция v(x)·u'(x) имеет на этом множестве {х} первообразную, то и функция u(x)·v'(x) имеет на этом множестве первообразную, причем ∫u(x)v'(x)dx=u(x)·v(x) - ∫v(x)·u'(x)dx. (Определение дифференциала функции и свойство инвариантности позволяет нам переписать равенство: ∫u·dv=u(x)·v(x) - ∫v·du.)

Доказательство.

Воспользуемся формулой [u(x)·v(x)]'=u(x)·v'(x)+v(x)·u'(x). Умножим формулу на dx и возьмем неопределенный интеграл от обеих частей полученного при этом неравенства. Так как существует неопределенный интеграл ∫v(x)·u'(x)dx и так как справедливо равенство (по 2) свойству)

∫[u(x)·v(x)]'dx = u(x)·v(x) +C, существует неопределенный интеграл ∫ u(x) v'(x)dx и справедливо равенство ∫u(x)v'(x)dx=u(x)·v(x) - ∫v(x)·u'(x)dx и ∫u·dv=u(x)·v(x) - ∫v·du.

Формула ∫u·dv=u(x)·v(x) - ∫v·du сводит вычисление неопределенного интеграла ∫ udv к вычислению неопределенного интеграла ∫ v·du. В ряде конкретных случаев последний неопределенный интеграл легко вычисляется. Отыскание значения неопределенного интеграла ∫ u·dv посредством использования формулы ∫u·dv=u(x)·v(x) - ∫v·du и называется интегрированием по частям.

Пример:

I=∫xⁿ·lnxdx, при n≠-1.

u=lnx, dv=xⁿ·dx. Применяя формулу [u(x)·v(x)]'=u(x)·v'(x)+v(x)·u'(x) и учитывая, что du=dx/x, v=xⁿ⁺¹/(n+1), получаем: I=∫ xⁿ⁺¹/(n+1)·lnx-1/(n+1)·∫ xⁿ·dx= xⁿ⁺¹/(n+1)·(lnx-1/(n+1))+C.

Пример2: I=∫x·arctgx·dx. Полагая u= arctgx, dv=xdx. Применяя формулу [u(x)·v(x)]'=u(x)·v'(x)+v(x)·u'(x) и учитывая, что du=dx/(1+x²), v=x²/2. Получаем I=x²/2·arctgx-1/2∫x²/(1+x²)·dx=x²/2 arctgx-1/2∫[(1+x²)-1] / (1+x²) ·dx=x²/2 arctgx-1/2∫dx+1/2∫dx/(1+x²)=(x²+1)/2 arctgx-x/2+C.

Значительная часть неопределенных интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на три группы:

Первая: Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, (arctgx)², (arccosx)²,... - при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции (см. примеры 1,2).

Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу : ∫u·dv=u(x)·v(x) - ∫v·du.), полагая в ней u(x) равной одной из перечисленных функций.

Вторая: интегралы вида:∫ (a+b)ⁿ cos(cx)dx, ∫(a+b)ⁿ sin(cx)dx, ∫ (a+b)ⁿ e^cx dx, a,b и c - некоторые постоянные числа, а n – целое положительное число. Интегралы второй группы вычисляются путем n-кратного применения формулы интегрирования по частям, причем в качестве u(x) каждый раз следует брать (ax+b) в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень понижается на единицу.

Третья:интегралы вида ∫e^axcosbxdx, ∫e^axsinbxdx, ∫sin(lnx)dx, ∫cos(lnx)dx. а и b – постоянные. Обозначая любой из указанных интегралов через I, путем двукратного интегрирования по частям мы получаем линейное уравнение для определения I.