23. Первое и второе правила Лопиталя. Примеры.

4.1. Раскрытие неопределенностей вида 0

0

Отношение двух функций f(x) представляет собой при х->a неопределенность вида 0 , если

g(x) 0

lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0.

Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел lim_x->a f(x) (при условии, что этот

g(x)

предел существует).

Теорема 9 (правило Лопиталя). Пусть две функции f(x) u g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки а, за исключением, возможно, самой точки а. Пусть, далее,

lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0

и производная g’(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел¹

lim_x->a f’(x) ,

g’(x)

то существует и предел lim_x->a f(x) , причем справедлива формула

g(x)

lim_x->a f(x) = lim_x->a f’(x)

g(x) g’(x).

Пример.

lim_x->0 x – sinx = lim_x->0 1 – cosx = lim_x->0 sinx = 1 .

x³ 3x² 6x 6

24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Теорема 10 (теорема Тейлора). Если т – любой номер и функция f(x) имеет в некоторой окрестности Ω(а) точки а производную порядка (n+1), то для любой точки х из окрестности Ω(а) найдутся такие лежащие между а и х точки ξ₁ и ξ₂, что справедливо равенство

f(x) = f(a) + (11.17)

в котором для Rn+1(x) справедливо любое из следующих двух представлений:

R_n+1(x) = ξ₁), (11.18)

R_n+1(x) = (11.19)

Равенство 11.17 называется формулой Тейлора, стоящая в равенстве (11.17) величина R_n+1(x) – остаточным членом, выражение 11.18 – остаточным членом в форме Лагранжа, а выражение 11.19 – остаточным членом в форме Коши.

Формула Маклорена.

Принято называть формулой Маклорена формулу Тейлора (11.17) с центром в точке а = 0. Таким образом, формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х = 0. Запишем формулу Маклорена для произвольной функции f(x) с остаточным членом в форме в форме Лагранжа, Коши и Пеано:

f(x) = f(0) + (11.35)

где остаточный член имеет вид:

1. В форме Лагранжа

R_n+1(x) = (0< <1), (11.36)

2. В форме Коши

R_n+1(x) = (0< <1) (11.37)

( в формулах (11.36) и (11.37) имеет, вообще говоря, различные значения),

3. В форме Пеано

R_n+1(x) = o (xⁿ).

Билет № 25.Первое и второе достаточные условия экстремума. Примеры.

Первое. Пусть точка С является точкой возможного экстремума f(х) и пусть f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С. Тогда, в пределах указанной окрестности, f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С отрицательна (положительна) справа от точки С, то f(х) имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке нет.

Второе. Пусть f(х) имеет в данной точке С возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда f(х) имеет в точке С локальный максимум, если f ”(C)<0, и локальный минимум, если f ”(C)>0.

Билет №26. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. Примеры.

Пусть функция f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С, и непрерывна в точке С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, f(х) имеет в точке С локальный максимум (локальный минимум). Если же f ’(х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.

Билет № 27. Направление выпуклости графика функции. Условия выпуклости вверх и вниз.

ОПР. График функции f(х) имеет на интервале (а,b) выпуклость вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Если у=f(х), f(х) имеет на интервале (а,b) конечную f ’(х), и если f’ ’(х) неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график f(х) имеет на интервале выпуклость вниз (вверх).

Пусть y=f ”(х) непрерывна и положительна (отрицательна) в точке С. Тогда существует такая окрестность в точке С, в пределах которой график y=f(х) имеет выпуклость вниз (вверх).

Билет № 28. Точка перегиба. Необходимое условие перегиба. Первое достаточное условие перегиба.

ОПР. Точка М(с, f(c)) графика у= f(х) называется точкой перегиба, если существует такая окрестность точки С оси абсцисс, в пределах которой график f(х) слева и справа от С имеет разные направления выпуклости.

Необходимое усл. Если график у= f(х) имеет перегиб в точке М(с, f(c)) и если f(х) имеет в точке С непрерывную f ”(х), то f ”(С) =0.

1 Дост. Усл. Пусть у= f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки С и f ”(С) =0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ”(х) имеет разные знаки слева и справа от С, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, f(c)).

Билет №29. Второе достаточное условие перегиба. Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условия существования наклонной асимптоты. Схема исследования графика функции.

2 дост. Усл. Перегиба. Если у= f(х) имеет в точке С конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям f ”(С) =0, f ’”(C) не равно 0, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, f(c)).

Асимптоты. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции у= f(х), если хотя бы 1 из пределов

Прямая у=kx + b является наклонной асимптотой графика у= f(х), при х стремящемся к +бесконечности, если у= f(х) представима в виде f(х)= kx + b+ а(х), где

Необходимое и достаточное условия. Для того, что бы график у= f(х) имел при

, необходимо и достаточно, что бы существовали 2 предела

Схема исследования графика функции.

1. ОДЗ

2. Вертикальная и горизонтальная асимптоты

3. Точки экстремума, возрастание и убывание

4. Точки перегиба и промежутки выпуклости вверх и вниз

5. Нули функции

Билет № 30. Понятие первообразной функции. Примеры. Теорема о двух первообразных. Неопределенный интеграл. Примеры.

Первообразная. Функция F(х) называется первообразной f(х) на интервале (а,b), если в любой точке х интервала (а,b) функция F(х) дифференцируема и имеет производную F ’(x)= f(х).

Теорема о двух первообразных. Если F1(х) и F2(х)-любые 2 первообразные функции, f(х) на интервале (а,b), то всюду на этом интервале F1(х) - F2(х)=С, где С - некоторая постоянная.

Следствие. Если F(х) является одной из первообразных f(х) на интервале (а,b), то любая первообразная Ф(х) функции f(х) на этом интервале имеет вид Ф(х)= F(х)+С.

Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных f(х) на интервале (а,b) называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом