Вопрос 10

ТЕОРЕМА ( о прохождении непрерывной на сегменте ф-ии через нуль и при разных знаках ее значений на концах сегмента ): Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и ее значения на концах сегмента f(a) f(b) являются числами разных знаков , то внутри сегмента [a,b] найдется точка с , значение ф-ии которой = 0

ТЕОРЕМА (о прохождении непрерывной на сегменте ф-ии через любое промежуточное значение ) Пусть ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b] причем f(a)=α f(b)= β тогда для любого числа γ, заключенного между α и β на сегменте [a,b] найдется точка с , что f(c)=γ

Вопрос 11. Понятие монотонной и строго монотонной функции.

Определение1. Функция f(x) называется неубывающей(соответственно невозрастающей) на множестве {х}, если для любых двух точек х1 и х2 из этого множества, связанных условием х1<х2, справедливо неравенство f(x1)≤f(x2) (соответственно f(x1)≥f(x2)).

Неубывающие и невозрастающие на данном множестве {х} функции наз-ся нестрого монотонными или просто монотонными на этом множестве.

Определение2. Ф-я f(x) наз-ся возрастающей (соответственно убывающей) на множестве {x}, если для любых двух точек х1 и х2 из этого множества, связанных условием х1<х2, справедливо неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)).

Возрастающие и убывающие на данном множестве {x} функции наз-ся строго монотонными на этом множестве.

Легко проверить, что 1) ф-я f(x)=(x в кубе) явл-ся возрастающей (т.е. строго монотонной) на всей бесконечно прямой –бесконечность<x<+бесконечность; 2) ф-я f(x)=(x в степени n) , где n- любое натуральное число, является возрастающей(т.е. строго монотонной) на полупрямой х≥0; 3) ф-я f(x)= sgn x явл-ся неубывающей на всей бесконечной прямой –бесконечность<x<+бесконечность.

Пусть ф-я y=f(x) определена на сегменте a≤x≤b, а множеством ее значений явл-ся сегмент [альфа, бетта]. Пусть, кроме того, каждому у из сегмента [альфа, бетта] отвечает только одно значение х из сегмента [a,b], для которого f(x)=y. Тогда на сегменте [альфа, бетта] определена ф-я, которая каждому у из сегмента [альфа, бетта] ставит в соответствие то значение х из сегмента [a, b], для которого f(x)=y. Эта ф-я обозначается символом х=(f в степени -1) (у)и наз-ся обратной для ф-ии y=f(x).

Если х=f(в степени -1)(у)- обратная для y=f(x) ф-я, то, очевидно, ф-я y=f(x) явл-ся обратной для ф-ии x=f(в степени -1)(y). Поэтому ф-я y=f(x) и y=f(в степени -1)(x) наз-ся взаимно обратными.

Условие существования обратной ф-ии для строго монотонной ф-ии

Теорема. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (соот-но убывает) на сегменте [a,b] и пусть альфа=f(a), бетта=f(b). Тогда, если множеством всех значений ф-ии y=f(x) явл-ся сегмент [альфа, бетта] (соот-но сегмент [бетта, альфа]), то на этом сегменте определена обратная для y=f(x) ф-я x=f(в степени -1)(y), которая также возрастает (соот-но убывает) на указанном сегменте.

Существование односторонних пределов у любой монотонной ф-ии

Теорема. Если ф-я f(x) не убывает или не возрастает на сегменте [a,b], то у нее существуют правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента [a,b] и, кроме того, существуют правый предел в точке а и левый предел в точке b.