33)Понятие интегральной суммы и ее предела. Определенный интеграл.

Пусть функция ƒ(х) определена и ограничена на сегменте [a,b]. Напомним, что функция ƒ(х) называется ограниченной на сегменте [a,b], если существует постоянное число М>0 такое, что

|ƒ(х)| ≤М для всех х из сегмента [a,b].

Рассмотрим конечное число точек х₁,x_2,..., х _n-1, лежащих внутри сегмента [a,b] и удовлетворяющих условию а<х₁<х₂<…<х_n-1<b. Удобно положить a=x₀, b=x_n и рассматривать точки а=х_0, х_1, х_{2, ...,} х_n-1,

х _n=b, удовлетворяющие условию a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b. Точки, удовлетворяющие этому неравенству, производят разбиение сегмента [a,b] на n частичных сегментов [х₀, х₁], [х_1, х₂], …,

[х_n-1, х _n].

Длину k-го частичного сегмента [х_k-1, х _k], равную х _{k -} х_k-1, обозначим символом ∆ х _k, т.е. положим

∆ х _k = х _{k -} х_k-1, и возьмем на каждом сегменте [х_k-1, х _k] произвольную точку ξ _k, так что х_k-1≤ ξ _k ≤ х _k.

Составим для рассматриваемого произвольного разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b сегмента [a,b] следующую сумму: σ=σ(х _k, ξ _k)=∑ⁿ_k=1ƒ(ξ _k)·∆ х _k.

Эта сумма, зависящая от выбора точек х _k разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b и от выбора точек ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k], что и отмечено в записи σ(х _k, ξ _k), называется интегральной суммой для функции ƒ(х) на сегменте [a,b], отвечающей данному разбиению a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b сегмента [a,b] и данному выбору точек ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k].

Так как число n частичных сегментов [х_k-1, х _k] конечно, то найдется частичный сегмент с наибольшей длиной, т.е. существует число d, равное максимуму из n чисел ∆х_1, ∆x_{2 ,…,}∆х_n: d=max{∆х_1, ∆x_{2 ,…,}∆х_n }.

Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм σ=σ(х _k, ξ _k)=∑ⁿ_k=1ƒ(ξ _k)·∆ х _k

при стремлении к нулю наибольшей длины d частичных сегментов, если для произвольного числа ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ(ε) такое, что при единственном условии d<δ(ε)

(независимо от выбора точек ξ_k на частичных сегментах [х_k-1, х _k]) справедливо неравенство |σ - I|<ε.

Определение 2.Функция ƒ(х) называется интегрируемой на сегменте [a,b], если для этой функции на сегменте [a,b] существует конечный предел I и ее интегральных сумм σ=σ(х _k, ξ _k)=∑ⁿ_k=1ƒ(ξ _k)·∆ х _k при стремлении к нулю наибольшей длины d частичных сегментов. При этом указанный предел I называется определенным интегралом от функции ƒ(х) по сегменту [a,b] и обозначается символом ∫^b_a ƒ(х)dx.

В этом обозначении функция ƒ(х) называется подынтегральной функцией, число а- нижним пределом, b- верхним пределом интегрирования. Букву х в обозначении аргумента подынтегральной функции и символа dx можно заменить любой другой буквой, т.е. определенный интеграл ∫^b_a ƒ(х)dx может быть записан и в виде ∫^b_a ƒ(t)dt, ∫^b_a ƒ(y)dy.

Замечание. Требование ограниченности функции ƒ(х) на сегменте [a,b] является необходимым условием ее интегрируемости на этом сегменте(т.е. является необходимым условием существования у интегральных сумм σ=σ(х _k, ξ _k)=∑ⁿ_k=1ƒ(ξ _k)·∆ х _k конечного предела I при стремлении к нулю наибольшей длины d частичных сегментов).