34) Верхние и нижние суммы и их свойства.

Функция ƒ(х) ограничена на сегменте [a,b], поэтому она ограничена и на любом частичном сегменте [х_k-1, х _k] разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b. Поэтому по теореме 1 из главы 1 у функции ƒ(х) существуют на любом частичном сегменте [х_k-1, х _k] точная верхняя грань, которую мы обозначим символом М_k, и точная нижняя грань, которую мы обозначим символом m_k.

Составим для разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b сегмента [a,b] две суммы:

S=∑ⁿ_k=1 M_{k ·} ∆ х _k. Это верхняя сумма, отвечающая разбиению a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b.

s=∑ⁿ_k=1 m_{k ·} ∆ х _k. Это нижняя сумма, отвечающая этому разбиению.

Верхняя и нижняя сумма зависят только от выбора точек х _k разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b.

(Интегральная сумма зависит и от выбора точек ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k]).

Свойства:

1)Для любого фиксированного разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b при любом выборе точек ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k] интегральная сумма, верхняя сумма и нижняя сумма связаны неравенствами s≤σ≤S. В частности для любого фиксированного разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b s≤S.

При любом положении точки ξ _k на частичном сегменте [х_k-1, х _k] справедливы неравенства:

m_k≤ƒ (ξ _k) ≤ M_k.

Умножив эти неравенства на положительное число ∆ х _k и после этого суммируя их по всем k, равным 1,2,…,n, мы и получим неравенства s≤σ≤S и ( s≤S ).

2)Для любого фиксированного разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b и для любого числа ε<0 точки

ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k] можно выбрать так, что отвечающая этому выбору точек ξ _k интегральная сумма и верхняя сумма будут связаны неравенством S - σ<ε.

Для любого фиксированного разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b и для любого числа ε<0 точки

ξ _k на частичных сегментах [х_k-1, х _k] можно выбрать так, что отвечающая этому выбору точек ξ _k интегральная сумма и нижняя сумма будут связаны неравенством σ – s <ε.

Замечание: Разности S – σ и σ – s, стоящие в левых частях неравенств, в силу свойства 1 не отрицательны.

Доказательство:

Так как число М_k является точной верхней гранью функции ƒ(х) на частичном сегменте [х_k-1, х _k],

То для любого числа ε<0 на этом частичном сегменте найдется точка ξ _k такая, что

ƒ (ξ _k)< М_k – ε/(b-a). Умножая это неравенство на положительное число ∆ х _k и после этого суммирую его по всем k, равным 1,2,…,n, мы получим неравенство σ>S – ε, эквивалентное неравенству S - σ<ε.

Измельчением разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b называется то разбиение, которое возникает при добавлении к разбиению нескольких новых точек разбиения.

3)При измельчении разбиения верхняя сумма не возрастает, а нижняя сумма не убывает.

Достаточно рассмотреть случай добавления одной новой точки разбиения, ибо добавление нескольких новых точек можно произвести последовательно.

Пусть новая точка разбиения ξ _k лежит на частичном сегменте [х_k-1, х _k] и разбивает этот сегмент на два частичных сегмента [х_k-1, ξ ], [ξ , х _k]. Тогда верхняя сумма S' будет отличаться от верхней суммы S исходного разбиения только тем, что одно слагаемое М_k· ∆ х _k в сумме S заменится в сумме S'

двумя слагаемыми М'_k(ξ - х_k-1)+M''_k(х _k - ξ ), в которых через М'_k обозначена точная верхняя грань функции ƒ(х) на сегменте [х_k-1, ξ ], а через M''_k обозначена точная верхняя грань функции на сегменте [ξ , х _k]. Так как точная верхняя грань функции на подмножестве не превосходит точную верхнюю грань на всем множестве, то справедливы равенства М'_k ≤ М_k, M''_k ≤ M_k. В силу этих неравенств сумма М'_k(ξ - х_k-1)+M''_k(х _k - ξ ) меньше или равна

М_k(ξ - х_k-1)+ М_k(х _k - ξ)= М_k(х _k- х_k-1)= М_k∆ х _k, что и завершает обоснование неравенства S'≤S.

4)Нижняя сумма s и верхняя сумма S двух произвольных и, вообще говоря, различных разбиений связаны неравенством s≤S.

Рассмотрим два различных разбиения, одно из которых задается точками a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b, а второе - точками a= х'₀<х'₁<х'₂<…<х'_m-1< х'_m=b.

Среди этих точек разбиений могут быть и совпадающие точки. Добавив к точкам разбиения

a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b все недостающие точки разбиения a= х'₀<х'₁<х'₂<…<х'_m-1< х'_m=b, мы получим разбиение, являющееся измельчением как разбиение первое, так и второе. Обозначив через S'' и s'' соответственно верхнюю и нижнюю суммы этого измельчения, через S и s – соответственно

верхнюю и нижнюю суммы разбиения a= х'₀<х'₁<х'₂<…<х'_m-1< х'_m=b, мы получим, что в силу свойств 1 и 3 справедливы неравенства s≤s''≤S''≤S', s'≤s''≤S''≤S', которые и означают, что нижняя сумма s разбиения первого не превосходит верхнюю сумму S' разбиения второго, а нижняя сумма s' разбиения второго не превосходит верхнюю сумму S разбиения первого.

Следствие из свойства 4:

Множество {S} всех верхних сумм, отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [a,b], ограничено снизу. Множество {s} всех нижних сумм, отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [a,b], ограничено сверху.

Из этого следствия и из теоремы 1 главы1 вытекает, что существует точная нижняя грань множества {S} всех верхних сумм, которую мы обозначим символом I и назовем верхним интегралом Дарбу, и существует точная верхняя грань множества {s} всех нижних сумм, которую мы обозначим символом I' и назовем нижним интегралом Дарбу.

5)Верхний и нижний интегралы Дарбу связаны неравенством I≤I'.

Доказательство: Предположим, что это неравенство несправедливо, т.е. I>I'. Тогда разность I-I' является положительным числом, которое мы обозначим через ε, так что I-I'=ε и поэтому

I – ε/2=I'+ε/2.

По определению I, как точной нижней грани множества {S} всех верхних сумм для положительного числа ε/2 найдется такое разбиение сегмента [a,b], верхняя сумма которого удовлетворяет неравенству S<I+ε/2.

По определению I', как точной верхней грани множества {s} всех нижних сумм для положительного числа ε/2 найдется такое разбиение сегмента [a,b], нижняя сумма которого удовлетворяет неравенству s<I'-ε/2.

Сопоставляя эти неравенства с равенством I – ε/2=I'+ε/2, мы получим неравенство s>S, противоречащее свойству 4.

Следствие из свойства:

Для верхней суммы S и нижней s произвольного разбиения сегмента [a,b] справедливы неравенства s≤I'≤I≤S.