Вопрос 41

Понятие m-мерного координатного и m-мерного евклидова пространств. Множества точек m_мерного евклидова пространства.

Назовем m-мерным координатным пространством множество всевозможных упорядоченных совокупностей (x1, x2, …, xm) m вещественных чисел x1, x2, …, xm. Будем обозначать m-мерное координатное пространство символом A^m.

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2, …, xm) мы будем назыать точкой m-мерного координатного пространства и обозначать одной буквой M.

При этом числа x1, x2, …, xm – координаты точки M.

Определение: Координатное пространство A^m называется m-мерным евклидовым пространством, если между двумя любыми точками M’ (x’1, x’2, …, x’m) и Mn (x’’1, x’’2,…,x’’m) пространства A^m определено расстояние, обозначаемое символом

ρ(M’, M’’) и выражающееся соотношением √(x’1-x’’1)² + (x’2-x’’2)² +…+(x’m-x’’m)²

Множества точек m-мерного евклидова пространства

Если у функции y=f(x) Одной независимой переменной x, областью определения которой является нек5оторое множество {x} точек одномерного евклидова пространства Rm , то мы естественно придем к понятию функции m независимых переменных.. Следовательно, введению понятия функции m переменных должно предшествовать описание важнейших типов множеств точек m-мерного евклидова пространства.

1)Открытый m-мерный шар радиуса R с центром в точке Мо(множествовсех точек М, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки Мо удовлетворяет нер-ву ρ (М,Мо) <R.

2) Замкнутый m-мерный шар радиуса Rс центром в точке Мо.

3) m-мерная сфера радиуса R с центром в точке Мо

4) ε-окрестность точки Мо- Открытый m-мерный шар радиуса ε>0 с центром в точке Mо

5) открытый m_мерный координатный параллелепипед (прямоугольнвя окрестность точки Мо)

Имеет место след утверждение: любая е-окрестность точки Мо содержит некоторую прямоуг окрестность этой точки и наоборот.

Также: внутренняя, внешняя, граничная точки

Множество {M} называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Вопрос 42

Понятие функции M-переменных.

Если каждой точке М из множества {M} точек M-мерного евклидова пространства ставится в соответствие по известному щзакону некоторое число u, то говорят, что на множестве {M} задана функция u=u(M) или U=f(M). при этом множество {M} называется областью задания функции u=f(M).

Пример: u=корень из 9-X2-y2. Областью задания этой функции является круг радиуса 3 с центром в начале координат, а множество значений- u больше равно нуля и меньше равно трех.

Пусть каждому числу n из натур ряда чисел ставится в соответствие точка M евклидова пространства. Возникающий при этом ряд точек М1 М2 М3, рассм в указанном порядке, называется последовательностью точек евклидова пространства.

Последовательность точек евклидова пространства назыв сходящейся, если сущ-ет точка А евкл пространства такая, что для любого полож числа е можно указать отвечающий ему номер N такой, что при n больше равно N выполняется нер-во ро( Mn, А) меньше е. При этом А- предел последовательности.

Последоватеьность точек евк простр называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого положительного е можно указать отвечающий ему номер N такой, что при n больше рано N и при любом целом р больше равно нуля выполняется неравенство ро(Mn+p, Mn) М меньше е.

Теорема Критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Rm. для того чтобы последовательность Mn точек евкл пространства была сходящейся,необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.