36)Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения для ограниченно и непрерывной функции.

1) Соглашение:

Для любой интегрируемой на сегменте [a,b] функции ƒ(х)

2)Линейное свойство. Если каждая из двух функций ƒ(х) и g(x) интегрируема на сегменте [a,b] и α и β – произвольные вещественные числа, то и функция [α ƒ(х) + β g(x)] интегрируемы на сегменте [a,b], причем

Из линейного свойства вытекают утверждения:

А) при α=1, β=1 мы получим, что из интегрируемости на сегменте [a,b каждой из функций ƒ(х) и g(x) вытекает интегрируемость на этом сегменте их суммы [ƒ(х) + g(x)] и справедливость равенства

б) при α=1, β=-1 мы получим, что из интегрируемости на сегменте [a,b] каждой из функций ƒ(х) и g(x) вытекает интегрируемость на этом сегменте их разности [ƒ(х) - g(x)] и справедливость равенства

в) при произвольном вещественном α и при β= 0 мы получим, что из интегрируемости на сегменте [a,b] функции ƒ(х) вытекает интегрируемость на этом сегменте функции [α· ƒ(х)] и справедливость равенства ∫^b_a[α· ƒ(х)]dx= α·∫^b_aƒ(х)dx.

3)Интегрируемость произведения двух интегрируемых функций.

Если каждая точка из функций ƒ(х) и g(x) интегрируема на сегменте [a,b], то и их произведение [ƒ(х) · g(x)] является интегрируемой на этом сегменте функцией.

4)Свойство аддитивности. Если a<b<c и функция ƒ(х) интегрируема на каждом из сегментов [a,c], [c,b], [a,b], то

5)Если функция ƒ(х) интегрируема на сегменте [a,b] и неотрицательна на этом сегменте, то

6)Если каждая из функций ƒ(х) и g(x) интегрируема на сегменте [a,b] и если в каждой точке х этого сегмента справедливо неравенство ƒ(х) ≥ g(x), то

Формула среднего значения.

Если функция ƒ(х) ограничена и интегрируема на сегменте [a,b], а символы M и m обозначают соответственно ее точную верхнюю и точную нижнюю грани на этом сегменте, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенствам m≤μ≤M и обеспечивающее справедливость равенства

∫^b_aƒ(x)dx=μ(b-a), называемого формулой среднего значения.

Формула среднего значения для непрерывной функции.

Если функция ƒ(х) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте найдется точка ξ такая, что

Справедливо равенство

∫^b_aƒ(x)dx=ƒ(ξ)(b-a), также называемое формулой среднего значения

Билет №37 существование первообразной у непрерывной функции.Формула Ньютона- Лейбница.( осн формула интегрального исчисления)

S^x_cf(t)dt - интеграл с переменным верхним пределом

Если функция f(x) определена и непрерывна на интервале a<x<d, а с- любая фиксированная точка этого интервала, то функция F(X), определяемая интегралом с переменным верхним пределом, те функция

F(x)= S^x_cf(t)dt

является первообразной функции f(x) на этом интервале

Н-Л

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и Ф(х)- любая первообразная функции f(x) на этом сегменте, то

S^b_af(x)dx=Ф(b)- Ф(a)

Примеры:

S^b_acosxdx = sinb- sina

S²₁dx\x= ln2-ln1=ln2

S¹₀dx\1+x²= П\4- 0=П\4

Билет№38 Метод замены переменной и метод интегрирования по частям

Если функция t=q(x) определена и дифферинцируема на множестве{x}, представляющем собой интервал, открытую полупрямую или бесконечную прямую и {t} является множеством значений этой функции и если функция g(t) имеет на множестве {t} первообразную, равную G(t), то есть

Sg(t)dt=G(t)+C

то функция g[q(x)]q'(x) имеет на множестве {x} первообразную, равную G[q(x)], те на множестве {x}

Sg[q(x)]q’(x)dx=G[q(x)]+C

Пример

Scos5xdx=1\5Scostdt=1\5sint+C=1\5sin5x+C

Метод интегрирования по частям

Если функции u(x) и v(x) дифферинцируемы на множестве {x}, представляющем собой интервал, открытую полупрямую или бесконечную прямую, и если функция v(x)u'(x) имеет на этом множестве первообразную, причем

Su(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-Sv(x)u’(x)dx =>

Sudv=u(x)v(x)-Svdu

Пример

n не равно -1, тогда посчитаем I=Sxⁿlnxdx

Полагая,u=lnx dv=xⁿ, применяя формулу и учитывая, чтоdu=dx\x, v=xⁿ⁺¹\n+1

получим

I=x¹⁺ⁿ\n+1*lnx-1\n+1*Sxⁿdx=xⁿ⁺¹\n+1*(lnx-1\n+1)+C

Билет№39 понятие площади плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции

Площадь произвольной плоской фигуры Q- часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой линией L. При этом указанную кривую L обычно называют грацией фигуры Q

Свойства площади элементарных фигур(многоугольники),которые переносятся на площадь произвольной плоской фигуры

1)свойство монотонности(площадь фигуры Q1, содержащейся в фигуре Q2, не превосходит площади фигуры Q2)

2)cвойство аддитивности( площадь объединения двух фигурQ1 Q2, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур)

Криволинейная трапеция Q, лежащая под графиком непрерывной и неотрицательной на сегменте[a,b] функции f(x), квадратируема и ее площадь I равна

I=S^b_af(x)d(x)

Плоская фигура Q называется квадратируемой( те имеющей плоскость), если верхн грань {s} равна нижней грани {S}, при этом чтсло I= верхней грани множества{s}(огранич сверху) и нижней грани {S}, огранич снизу, называется площадью плоской фигуры Q

Билет№40 Понятие кубируемого тела. Объем тела вращения. Физические приложения определенного интеграла

Тело называется кубируемым(те имеющим объем) точная верхняя грань {s}( множество объемов всех элементарных тел, содержащихся в теле Q) и точная нижняя грань{S}(мн-во объемов всех элементарных тел, содержащих телоQ) равны. При этом число I, равное этим граням называется объемом тела Q

Пусть криволинейная трапеция,лежащая под графиком непрерывной и неотрицательной на сегменте a< или=x< или=b функции f(x), вращается вокруг оси Ох. Возникающее при этом тело вращения Q кубируемо и его объем I равен

I= пS^b_af²(x)dx

Пусть p(x) линейная плотность неоднородного стержня, расположенного на сегменте[a,b] оси Ох. рассмотрим произвольное разбиение сегмента [a,b] выберем на каждом его частичном сегменте [x_k-1,x_k] произвольную точку е_к

_{и составм сумму по всем частичным сегментам. Сумма дает приближенное значение массы стержня. Точное значение массы стержня будет равно} S^b_ap(x)dx

Второе физическое приложение интеграла: вычисление работы по перемещению материальной точки из точки а оси Ох в точку b под действием силыF(x), параллельной оси Ох

Билет№41 Понятие о несобственных интегралах. Несобственные интегралы первого и второго рода.

Для понятия определенного интеграла необходимо 2 требования: конечность промежутка(сегмента[a,b]), по которому идет интегрирование и ограниченность интегрируемой функции

Для распространения понятия интеграла на случай, когда указанные 2 требования не выполняются. необходим дополнительный переход к пределу,и возникающий при этом переходе интеграл принято называть несобственным

Пусть сначала функция f(x) определена на полупрямой a< b<+бесконечность и интегрируема по сегменту [a,b] при любом b из полупрямой a<b<+бесконечность. Тогда, если существует предел

lim_{b->+бесконечность}S^b_af(x)dx

то этот предел называется несобственным интегралом(первого рода) от функции f(x) по полупрямой a< или=x<+бесконечность

и обозначается символом

S⁺_а^{бесконечность}f(x)dx

Пусть теперь функция f(x) не является ограниченной в окрестности точки b, но при любом достаточно малом d>0 является ограниченной и интегрируемой на сегменте [a, b-d]

Тогда, если существует предел lim_d->0+0S^b_a^-df(x)dx

то этот предел называется несобственным интегралом(второго рода) от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается тем же символом, что и обычный определенный интеграл