Вопрос 16. Приращение ф-ии и приращение аргумента.

Пусть ф-я y=f(x) определена на некотором интервале (a,b). Фиксируем любое значение х из указанного интервала и зададим аргументу в точке х произвольное приращение дельта х такое, что значение х + дельта х также принадлежит интервалу (a,b). Приращением ф-ии y=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента дельта х, назовем число дельта у=f(x+дельта x)-f(x).

Имеет место следующее утверждение –так называемая разностная форма условия непрерывности: ф-я y=f(x) непрерывна в точке х, если приращение дельта у этой ф-ии в точке х, соответ-ее приращению аргумента дельта х, явл-ся бесконечно малым при дельта х→0, т.е. если lim∆y=lim[f(x+∆x)-f(x)]

∆x→0 ∆x→0

=0.

Производная ф-ии в точке.

Производной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся предел при ∆х→0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует). F(штрих) (х)= lim ∆y/∆x=lim f(x+∆x)-f(x)/∆x .

∆x→0 ∆x→0

Физический и геометрический смысл

Предположим, что ф-я y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии (т.е. зависимость от х пути у, пройденного точкой от начала отсчета за время х). Тогда разностное отношение определяет среднюю скорость точки за промежуток времени от х до х+∆х. В таком случае производная f(штрих)(x), т.е. предел разностного отношения при ∆х→0, определяет мгновенную скорость точки в момент времени х. Итак, производная ф-ии, описывающей закон движения, определяет мгновенную скорость точки. Физические приложения понятия производной используются не только в механике, но и в других разделах физики.

Геометрический смысл. Если сущ-т предельное положение секущей

MP при стремлении точки Р графика ф-ии к точке М(или, что то же самое, при стремлении ∆х к нулю), то это предельное положение наз-ся касательной к графику ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке М этого графика.

Вопрос 17. Правая и левая производные в точке.

Правой (соот-но левой) производной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся правый (соот-но левый) предел разностного отношения в точке ∆х=0( при условии, что этот предел существует).

Определение дифференцируемости. Ф-я y=f(x) наз-ся дифференцируемой в данной точке х, если приращение ∆у этой ф-ии в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А*∆х+альфа*∆х, где А- некоторое число, не зависящее от ∆х, а альфа- ф-я аргумента ∆х, являющееся бесконечно малой при ∆х→0.

Теорема. Для того чтобы ф-я y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Формула представления для дифференциала ф-ии y=f(x)

dy= fштрих(x)dx

явл-ся универсальным и остается справедливым не только в случае, когда аргумент х явл-ся независимой переменной, но и в случае, когда аргумент х сам явл-ся дифференцируемой ф-ей вида х=фи(t) некоторой независимой переменной t. Это свойство дифференциала ф-ии наз-ся инвариантностью его формы.