§ 102. Увеличение системы. Найдем теперь формулы для линейного увеличения  системы. Из подобия треугольников s'1s'2f' и h'q'f' (рис. 226) имеем

но S'₁S'₂=y', H'Q'=HQ=S₁S₂=y, F'H'=f.' Таким образом, обозначив через х' расстояние от заднего фокуса до изоб­ражения, находим

(102.1)

Тем же путем из подобия треугольников S₁S₂F и HRF нахо­дим

(102.2)

где х — расстояние предмета от переднего фокуса. (Для рассматриваемых нами систем (см. § 100) f=f'.)

Наряду с линейным увеличением для характеристики действия оптической системы, как и в случае тонкой линзы (см. §96), большое значение имеет угловое увеличение.

Угловым увеличением  называется отношение тангенсов углов а' и а, составляемых лучами, выходящим из системы и падающим на систему, с оптической осью, т. е.

(102.3)

С помощью рис. 227 можно показать (см. упражнение 45), что, так же как и в случае тонкой линзы,

(102.4)

Это означает, что чем больше размеры изоб­ражения, тем меньше ширина световых

Рис. 227. Угловое увеличение оптической системы

пучков, образующих это изображение (ср. § 96). В § 109 этой главы будет показано, какое значение имеет это об­стоятельство для вопросов, связанных с освещенностью и яркостью изображений, даваемых оптическими системами.

§ 103. Недостатки оптических систем. Рассматривая об­разование изображений протяженных объектов в оптиче­ских системах, мы все время предполагали, что изображение образуется узкими световыми пучками и что они падают на систему под небольшими углами к ее главной оптической оси. И то и другое предположения практически в оптиче­ских приборах не выполняются. Для получения больших освещенностей приходится пользоваться широкими свето­выми пучками, т. е. применять линзы большого диаметра. Второе предположение также не выполняется во всех тех случаях, когда прибор должен дать изображение точек, зна­чительно удаленных от его главной оси, например при фотографировании. Отказываясь от этих ограничений, мы ухудшаем оптическое изображение: изображение оказы­вается, вообще говоря, не вполне резким, расплывчатым; мелкие детали смазываются и становятся неразличимы.

Кроме того, иногда теряется точное подобие между предме­том и его изображением.

Необходимо считаться еще с одним явлением, влияющим на качество изображения в оптической системе, именно, с зависимостью показателя преломления оптических стекол от длины волны. Эта зависимость приводит к тому, что края изображения, полученного с помощью белого света, оказываются окрашенными.

Полное устранение всех вышеперечисленных недостат­ков оптического изображения в реальных системах невоз­можно. Однако тщательное изучение погрешностей оптиче­ских систем позволяет найти пути для уменьшения их влияния, и в современных оптических приборах эти по­грешности настолько уменьшены, что незначительно ска­зываются на качестве изображения.

Погрешности оптических систем называют аберрациями. Ниже мы рассмотрим главнейшие аберрации и способы их устранения.

§ 104. Сферическая аберрация. Возникновение этой по­грешности можно проследить с помощью легко доступных опытов. Возьмем простую собирающую линзу 1 (например, плосковыпуклую линзу) по возможности с большим диамет­ром и малым фокусным расстоянием. Небольшой и в то же время достаточно яркий источник света можно получить, если, просверлив в большом экране 2 отверстие диаметром около 1 мм, укрепить перед ним кусочек матового стекла 3, освещенного сильной лампой с небольшого расстояния. Еще лучше сконцентрировать на матовом стекле свет от дугового фонаря. Эта «светящаяся точка» должна быть расположена на главной оптической оси линзы (рис. 228, а).

С помощью указанной линзы, на которую падают широ­кие световые пучки, не удается получить резкое изображе­ние источника. Как бы мы ни перемещали экран 4, на нем получается довольно расплывчатое изображение. Но если ограничить пучки, падающие на линзу, поставив перед ней кусок картона 5 с небольшим отверстием против централь­ной части (рис. 228, б), то изображение значительно улуч­шится: можно найти такое положение экрана 4, что изобра­жение источника на нем будет достаточно резким. Это наблюдение вполне согласуется с тем, что нам известно от­носительно изображения, получаемого в линзе с помощью узких приосевых пучков (ср. §89).

Заменим теперь картон с центральным отверстием кус­ком картона с небольшими отверстиями, расположенными вдоль диаметра линзы (рис. 229). Ход лучей, проходящих через эти отверстия, можно проследить, если слегка зады­мить воздух за линзой. Мы обнаружим, что лучи, проходя­щие через отверстия, расположенные на различном

Рис. 228. Экспериментальное изучение сферической аберрации: а) лин­за, на которую падает широкий пучок, дает расплывчатое изображение; б) центральная зона линзы дает хорошее резкое изображение

расстоянии от центра линзы, пересекаются в разных точках: чем дальше от оси линзы выходит луч, тем сильнее он преломляется и тем ближе к линзе находится точка его пересечения с осью (рис. 230).

Таким образом, наши опыты показы­вают, что лучи, проходящие через от­дельные зоны линзы, расположен­ные на разных расстояниях от оси, дают изображения источника, лежащие на разных расстоя­ниях от линзы. При данном положении экрана разные зоны линзы дадут на нем: одни — более рез­кие, другие— более расплывчатые изоб­ражения источника, которые сольются в светлый кружок. В результате линза большого диаметра дает изображение точечного источника не в виде точки, а в виде расплывчатого светлого пятнышка.

Рис. 229. Экран с отверстиями для изучения сферичес­кой аберрации

Итак, при использовании широких световых пучков мы не получаем точечного изображения даже в том случае, когда источник расположен на главной оси. Эта погрешность оптических систем называется сферической аберрацией.

Рис. 230. Возникновение сферической аберрации. Лучи, выходящие из линзы на разной высоте над осью, дают изображения точки S в раз­ных точках S', S", S'"

Для простых отрицательных линз благодаря сфериче­ской аберрации фокусное расстояние лучей, проходящих через центральную зону линзы, также будет более значи­тельным, чем для лучей, проходящих через периферическую зону. Другими словами, параллельный пучок, проходя через центральную зону рассеивающей линзы, становится

Рис. 231. Сферическая аберрация: а) в собирающей линзе; б) в рассеи­вающей линзе

менее расходящимся, чем пучок, идущий через наружные зоны. Заставив свет после собирающей линзы пройти через рассеивающую, мы увеличим фокусное расстояние. Это увеличение будет, однако, менее значительным для центральных лучей, чем для лучей периферических

(рис. 231).

Таким образом, более длинное фокусное расстояние со­бирающей линзы, соответствующее центральным лучам, увеличится в меньшей степени, чем более короткое фокусное расстояние периферических лучей. Следовательно, рассеи­вающая линза благодаря своей сферической аберрации

Рис. 232. Исправление сферической аберрации путем комбинирования собирающей и рассеивающей линз

выравнивает различие фокусных расстояний цент­ральных и периферических лучей, обусловленное сфериче­ской аберрацией собирающей линзы. Правильно рассчитав комбинацию собирающей и рассеиваю­щей линз, мы можем столь полно осу­ществить это выравнивание, что сфери­ческая аберрация системы из двух линз будет практически сведена к нулю (рис. 232). Обычно обе простые линзы склеи­ваются (рис. 233).

Из сказанного видно, что уничтоже­ние сферической аберрации осуществля­ется комбинацией двух частей системы, сферические аберрации которых взаим­но компенсируют друг друга. Аналогичным образом мы поступаем и при исправлении других недостатков системы.

Примером оптической системы с устраненной сферической абер­рацией могут служить астрономические объективы. Если звезда нахо­дится на оси объектива, то ее изображение практически не искажено аберрацией, хотя диаметр объектива может достигать нескольких де­сятков сантиметров.

§ 105. Астигматизм. Эта погрешность оптических систем проявляется в тех случаях, когда желают получить изобра­жение точки, находящейся на значительном расстоянии от главной оси системы, точнее, при использовании свето­вых пучков, составляющих значительный угол

Рис. 233. Склеен­ный астрономичес­кий объектив, ис­правленный на сфе­рическую аберра­цию

с главной осью (косые пучки). Важно отме­тить, что астигматизм остается даже при использовании узких световых пучков, а также может сохраняться в сис­темах, освобожденных от сферической аберрации.

Для наблюдения астигматизма выделим с помощью при­крывающего линзу картонного экрана с небольшим отвер­стием узкий пучок лучей и расположим источник так, чтобы он находился на побочной оси, составляющей с главной осью угол 30—40°. Мы обнаружим, что изображение светящейся точки на экране 4 (см. рис. 228) станет весьма расплывча­тым и будет иметь неправильную форму. Если мы начнем

Рис. 234. Астигматизм линзы: изображения точки, лежащей на побоч­ной оси, представляют собой две взаимно перпендикулярные линии, лежащие в разных плоскостях.

медленно передвигать экран относительно линзы, то найдем, что имеются два положения экрана (I и II на рис. 234), в которых изображение довольно резкое. Однако, в от­личие от того случая, когда источник находился на главной оси линзы, изображение в указанных двух положениях экрана имеет вид не точки, а отрезка прямой. Направление отрезка в положении I перпендикулярно к направлению отрезка в положении II. Во всех остальных положениях экрана изображение расплывчатое, овальное [или круглое.

Таким образом, даже наилучшее изображение точки, не лежащей на главной оси линзы, представляет собой не точку, а две взаимно перпендикулярные и находящиеся в разных местах линии. Это и есть та погрешность оптиче­ских систем, которая носит название астигматизма.

Для исправления астигматизма приходится строить сложные оптические системы, состоящие из нескольких ча­стей, подобранных специальным образом так, чтобы они взаимно компенсировали астигматизм, обусловленный каж­дой из них. Системы с исправленным астигматизмом называются анастигматами *). Современные фотографические объективы, исправленные в отношении астигматизма, дают хорошее изображение при углах до 50—70°.

§ 106. Хроматическая аберрация. Поставим на пути све­товых лучей, выходящих из линзы 1, один раз красное стек­ло (пропускающее только красные лучи), другой раз синее стекло (пропускающее синие лучи). С помощью передвиж­ного экрана 2 (рис. 235) мы обнаружим, что изображения,

Рис. 235. Хроматическая аберрация: изображение точки S в синих

лучах S'_c не совпадает с изображением в красных лучах S'_к. Рисунок

имеет цветной дубликат (см. форзац)

образуемые лучами разного цвета, находятся в разных точках: S'_к (красное) дальше от линзы, чем S'_с (синее). Если же оставить экран в том месте, где образуется резкое изображение, например синими лучами, то в красном свете мы получим на экране расплывчатое пятнышко. Вследствие этого при использовании белого света (содержащего лучи всех цветов) изображение, даваемое линзой, оказывается обычно окрашенным (окаймленным цветными кружками и т. п.). Описанное явление носит название хроматической аберрации.

Эта погрешность возникает вследствие того, что показа­тель преломления зависит от длины волны света (дисперсия; см. § 83). Из-за этого и фокусное расстояние линзы, ко­торое согласно формуле (88.9) зависит от показателя пре­ломления, будет различным для лучей различного цвета. В результате изображения точки S для лучей различ­ного цвета будут находиться на разных расстояниях от линзы.

Расстояние между точками S'_c и S'_к зависит от сорта стекла, из которого сделана линза: оно больше для той лин-

*) Частица а перед словом означает отрицание: астигма­тизм — неточечность изображения; ана — двойное отрица­ние (вместо аа) анастигматизм — неастигматизм, т. е, точечность изображения,

зы, которая сделана из стекла с большей дисперсией *) (если сравниваемые линзы имеют одинаковое фокусное расстояние для лучей какого-либо цвета). Это обстоятельство использу­ется для устранения хроматической аберрации линз следу­ющим образом. К двояковыпуклой линзе из стекла с малой дисперсией приклеива­ется соответствующим образом рассчитанная рассеивающая линза из стекла с большой дис­персией (рис. 236). До­бавочная линза удлиня­ет фокусные расстояния первой линзы (см. § 104), причем фокусное рассто­яние синих лучей, сильнее преломляемых, увеличивается в большей степени, чем фокусное расстояние красных лу­чей, слабее преломляемых. Расчет в простейшем случае ведется таким образом, чтобы фокус красных лучей F'_к и фокус синих лучей F'_c попали в одну и ту же точку F'. Соединившись в одном месте, изображения разных цветов дадут практически белую точку, т. е. хроматическая абер­рация будет устранена.

Линзы с устраненной описанным способом хроматической аберрацией называются ахроматическими линзами. Применяются также систе­мы, где соединены фокусы для трех сортов лучей,— апохроматы. Такие апохроматические системы используются, например, в микроскопии.