§ 130. Законы отражения и преломления света на основе принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред аb (рис. 273) падает параллельный пучок лучей, образуя

Рис. 273. К нахождению закона преломления волн. ОВ — поверхность падающей волны, ab — поверхность раздела двух сред, NC — поверх­ность преломленной волны

угол i с перпендикуляром к поверхности раздела. Согласно закону преломления пучок преломленных лучей будет рас­пространяться по направлению, задаваемому углом r. Закон преломления, выведенный из опыта, гласит:

где n — показатель преломления второй среды относитель­но первой,— есть величина, не зависящая от угла паде­ния света i и характеризующая свойства обеих сред.

Согласно волновым представлениям опи­санная задача сводится к следующему. На поверхность раз­дела падает плоская волна, поверхность которой со­ставляет угол i с поверхностью раздела. Скорость распрост­ранения волны в первой среде есть v₁, во второй — v₂.

Для нахождения закона преломления и показателя преломления воспользуемся принципом Гюйгенса. Задача решается без труда, если мы выберем в качестве центров вторичных волн точки, лежащие на границе раздела. Пусть в момент времени t=0 падающая плоская волна до­стигает в точке О границы раздела, т. е. поверхность падаю­щей волны имеет положение ОМ, Найдем положение огиба­ющей к моменту t=, когда точка В поверхности падающей волны успеет достигнуть границы раздела в точке С. Так как скорость волны в первой среде есть v₁, то расстояние ВС рав­но v₁. Вторичная волна из точки О успеет за это время рас­пространиться во второй среде на расстояние OF=v₂. Точ­ка D будет достигнута первичной волной несколько позже, и вторичная волна от нее успеет к моменту т проникнуть во вторую среду на меньшую глубину, равную DG; от точки Е глубина проникновения будет еще меньше — ЕН; от точки С к моменту т распространение волны еще не начнется, ибо к этому моменту точка С только будет достигнута пер­вичной волной. Построив огибающую, которая оказывается плоскостью, касающейся всех вторичных сферических волн, найдем линию CN — положение фронта преломленной волны; этот фронт распространяется во второй среде со скоростью v₂ по направлению OF (CN), задаваемому уг­лом r.

Из ОВС и COF найдем соотношение между углами i и r, т. е. закон преломления. Действительно, BC=v₁=ОСsini, OF=v₂=OC sinr, откуда

Если обозначить отношение v₁/v₂ через n, то получим закон преломления в обычной его форме sini/sinr=n. Величина n не зависит от углов i и r и носит название показателя преломления.

Мы не только нашли путем рассуждений Гюйгенса пра­вильный закон преломления, но и объяснили физиче­ский смысл показателя преломления n: показатель преломления равен отношению скорости свето­вой волны в первой среде к скорости ее во второй.

Если первая среда воздух (или вакуум, что для многих вопросов практически одно и то же), а вторая — вода, то из опыта известно, что n=1,33. Таким образом, наши рассуж­дения приводят к выводу, что скорость света в воздухе (вакууме) в 1,33 раза больше, чем в воде. Мы увидим (§ 153), что прямые измерения скорости света в воде и в воздухе подтверждают этот вывод.

Аналогичным способом можно рассмотреть явления от­ражения волны. Мы найдем закон отражения: угол отраже­ния равен углу падения.

§ 131. Принцип Гюйгенса в толковании Френеля. Изложен­ное в предыдущем параграфе наглядно показывает плодот­ворность принципа Гюйгенса для решения многих важных задач оптики. В формулировке Гюйгенса принцип этот имел характер геометрического правила, согласно которому результат действия вторичных волн мо­жет быть найден построением поверхности, огибающей эти волны. Французский физик Огюстен Френель (1788—1827), заимствовав из принципа Гюйгенса представление о вто­ричных волнах, применил к ним законы интерференции. Согласно Френелю правило построения огибающей должно быть заменено расчетом взаимной интерференции вторич­ных волн; такой расчет приводит к тем же результатам, что и первоначальное правило Гюйгенса.

Способ Френеля не только вкладывает более глубокое физическое содержание в принцип Гюйгенса, но и делает возможным решение ряда новых задач, которые не могли быть исследованы по первоначальному методу Гюйгенса.

Пусть, например, волна распространяется в однород­ной среде по определенному направлению. Любая точ­ка, до которой дойдет волна, становится источником вто­ричных волн, которые разбегаются во все стороны. Может показаться, что благодаря этому первоначальное направле­ние распространения изменится и световая волна рассеется в стороны. Однако если учесть, согласно Френелю, взаим­ную интерференцию этих вторичных волн, то окажется, что в боковых направлениях вторичные волны взаимно уничтожают друг друга и лишь в первоначальном направлении они взаимно усиливаются. Поэтому свет распространяется лишь в первоначальном направлении. Мы приходим, следователь­но, к объяснению прямолинейного распространения света в однородной среде.

Если, однако, среда неоднородна, например содержит посторонние включения или состоит из различных сред (на­пример, в воздухе расположены зеркала, пластинки, лин­зы и т. д.), то результат будет иной. Свет при прохождении через такую сложную среду не распространяется прямоли­нейно, а рассеивается в стороны или испытывает отражения, преломления и т. д. Мы видели, например, в § 130, как с помощью принципа Гюйгенса можно получить количест­венные законы преломления и отражения.

Таким образом, все основные законы геометрической оп­тики — закон прямолинейного распространения, закон пре­ломления, закон отражения — оказалось возможным ис­толковать с волновой точки зрения с помощью принципа Гюйгенса — Френеля.

Еще более важным является то обстоятельство, что с по­мощью этого принципа можно рассмотреть, как протекают оптические явления при условиях, когда законы геометри­ческой оптики перестают быть справедливыми.

§ 132. Простейшие дифракционные явления. Простей­ший случай нарушения законов геометрической оп­тики был описан в § 80, где было показано, что в случае прохождения света через очень малое отверстие не соблю­дается правило прямолинейного распространения: свет на краях отверстия заметно отклоняется в стороны, огибая края. Такого рода огибание можно при внимательном наблюдении обнаружить при отбрасывании на экран те­ни от любого препятствия, даже если оно не очень мало. Но так как угол отклонения света от направления прямо­линейного распространения обычно невелик, то наблюде­ние облегчится, если экран расположить далеко от пре­пятствия.

Так, свет, идущий от небольшого яркого источника че­рез круглое отверстие диаметра d (рис. 274, а), должен по правилам геометрической оптики дать на экране ММ резко ограниченный светлый кружок на темном фоне (рис. 274, б). Такая картина и наблюдается практически при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экра­на в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то удается наблюдать важные детали явления: образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец, постепенно пере­ходящих друг в друга (рис. 274, в). При другом соотноше­нии между диаметром отверстия и расстоянием до экрана в центре картины может быть темное пятно. Этот случай осо­бенно наглядно характеризует волновые свойства света и совершенно необъясним с позиции геометрической оптики (подробнее см. § 133).

Рис. 274. Дифракция от круглого отверстия: а) схема опыта; б) вид

тени, когда диаметр отверстия d сравним с расстоянием D от отверстия

до экрана; в) вид тени, когда диаметр отверстия d в тысячи раз меньше

расстояния D от отверстия до экрана

Таким образом, для наблюдения описанного случая ди­фракции надо применить или очень малое отверстие (сотые доли миллиметра, если мы хотим сделать опыт на лаборатор­ном столе) или прибегнуть к расположению экрана на боль­шом расстоянии от отверстия (сотни метров, если мы хотим работать с отверстиями в несколько миллиметров).

Точно так же при освещении маленьким источником до­статочно больших непрозрачных предметов, расположенных сравнительно недалеко от экрана, получаем вполне резкие тени. Но если расстояние от предмета до экрана значи­тельно превосходит размеры предмета, то тень приобретает сложный характер.

На рис. 275, а изображена тень от прямолинейного пред­мета (проволочки или карандаша), отброшенная на отда­ленный экран. Внутри тени наблюдаются области, куда заходит свет, а края тени окаймлены рядом светлых и тем­ных полос. На рис. 275, б изображена тень от шурупа, полу­ченная в таких же условиях. Сложный характер картины показывает, что свет значительно уклоняется от прямых линий, загибаясь около краев и давая ряд светлых и темных областей, лишь отдаленно напоминающих резкую тень, подобную предмету. На рис. 275, в изображена тень руки, держащей тарелку. Опыты были осуществлены в 1912 г. В. К. Аркадьевым и А. Г. Калашниковым в Московском уни­верситете и проводились с уменьшенной моделью руки с та­релкой. Расстояния от модели до экрана, проставленные на рисунке, пересчитаны для опыта с тарелкой натуральной величины. Чем дальше расположен экран, тем меньше сход­ство между очертаниями тени и предмета *).

Рис. 275. Фотографии дифракционных картин (тень отбрасывается на

экран): а) дифракция от проволоки (I) и карандаша (II); б) дифракция

от шурупа; в) дифракция от руки, держащей тарелку, при различном

расстоянии от руки до экрана

Описанные выше явления нару­шения закона прямолинейного рас­пространения света получили на­звание дифракции света.

§ 133. Объяснение дифракции по методу Френеля. Отступления от законов прямолинейного распрос­транения света, примеры которых приведены в предыдущем парагра­фе, получают простое объяснение с точки зрения волновой теории и являются естественным следствием этой теории. Действительно, наб­людаемое в каждом случае распре­деление света есть результат ин­терференции вторичных волн.

Рассмотрим, например, прохож­дение света через круглое отверстие DD в экране (рис. 276). Для того чтобы рассчитать интенсивность света в точке О, применим следую­щий вспомогательный прием. Про­ведем из точки О конические поверх­ности OKL, OMN, OPQ и т. д. до пе­ресечения с поверхностью сферичес­кой волны DCD. Длины образую­щих выберем так, что OL=OC+/2, ON=OL+/2 и OQ=ON+/2 и

Рис. 276. К объяснению явления дифракции на круглом отверстии. Вни­зу — схематическое изоб­ражение наблюдаемой картины: а) при нечетном числе зон; б) при четном числе зон

т. д. Другими словами, расстояние от точек С, L, N, Q, ... до точки О возрастает на длину полуволны (/2)

*) Приведенные фотографии осуществлены проф. В, К. Аркадье­вым и заимствованы из его статьи.

света, падающего на отверстие. Поверхность волны DCD разобьется на кольцевые зоны. Площади этих зон практиче­ски одинаковы, ибо ОС значительно больше /2. Но действие их в точке О различно. Действительно, разность хода до точки О между какой-либо точкой первой зоны и соот­ветствующей точкой второй зоны равняется /2. Поэтому световые волны от первой и второй зон, дойдя до О, будут взаимно ослабляться, так что в точке О действие первой зоны практически уничтожается действием второй зоны. Совер­шенно подобные же рассуждения покажут, что в точке О действие третьей зоны противоположно действию второй, действие четвертой — противоположно действию третьей и т. д, и вообще действия соседних зон практически уничто­жают друг друга. Если отверстие DD таково, что в нем уме­щаются всего две зоны, то в точке О почти не будет света, ибо две соседние зоны взаимно ослабляют друг друга. Большая часть света будет распределена вокруг точки О, так что мы увидим темное пятно, окружен­ное светлым кольцом. При размере отверстия в три зоны в точке О должен быть свет, ибо третья зона ослабит действие второй, и точка будет освещена почти неослаблен­ным действием полной первой зоны» Светлая цен­тральная точка будет охвачена тем­ным кольцом, за которым вновь наблюдается просвет­ление. Вообще при четном числе зон в центре будет темное пятно, окруженное чередующимися светлыми и темными кольцами; при нечетном числе зон — в центре светлее пят­но, а ближайшее кольцо темное и т. д. Размеры этих колец тем меньше, чем больше диаметр отверстия, так что при боль­шом диаметре темные и светлые кольца около центра чере­дуются настолько часто, что мы перестаем различать их и практически не замечаем явлений дифракции.

Аналогичным образом могут быть поняты и другие, бо­лее сложные дифракционные картины. Так как расчет зон Френеля зависит от длины волны света, то, следовательно, и вид дифракционной картины будет зависеть от длины волны. Опыт вполне подтверждает это за­ключение. В частности, в белом свете кольца будут цвет­ными.

§ 134. Разрешающая сила оптических инструментов. Из­ложенное выше показывает, что отверстие, ограничи­вающее проходящую световую волну, обусловливает дифракцию света и приводит к сложной картине распреде­ления освещенных и темных мест. Однако всякий оптический инструмент, в том числе и наш глаз, снабжен линзами или зеркалами, которые всегда ограничивают волновой фронт. Таким образом, следует ожидать, что при полу­чении изображения с помощью оптической системы мы всегда будем иметь дифрак­ционную картину.

Действительно, подробный расчет и опыт показывают, что изображение светящейся точки при помощи объектива представляет собой не просто яркую точку на темном фоне, а довольно сложную систему темных и светлых колец, пе­реходящих друг в друга и по­степенно сливающихся с окру­жающим темным фоном (рис. 277). Чем больше диаметр объектива, дающего изображе­ние, тем мельче эта диф­ракционная картина, т. е. тем теснее располагаются дифракционные кольца. Обычно мы не замечаем этого осложнения и считаем, что изображение светящейся точки есть просто светлая точка. Однако это осложнение всегда имеет ме­сто и при более тщательных наблюдениях может быть обна­ружено. От него нельзя избавиться никаким устройством объектива, ибо оно обусловлено самой волновой при­родой света.

Интересно отметить, что степень дифракционно­го искажения уменьшается по мере увеличения диа­метра объектива (рис. 278); наоборот, искажения, обуслов­ленные погрешностями объектива, например сферической аберрацией, тем больше, чем больше его диаметр (см. § 104).

Рис. 277. Изображение светя­щегося диска (например, планеты), полученное с помощью телескопа (дифракционная картина)

Рис. 278. Уменьшение дифрак­ционных искажений изображе­ний по мере увеличения диа­метра объектива (сверху вниз)

Для фотообъективов обычно погрешности объектива иг­рают большую роль, чем искажения, вносимые дифрак­цией. Поэтому уменьшение диаметра объектива (диафраг­мирование), которое уменьшает роль этих погрешностей, обычно улучшает резкость изображения. Но при доста­точно малых отверстиях искажение вследствие дифракции начнет переве­шивать. Погрешности очень хороших астрономических объективов настоль­ко малы, что основное искажение вносит дифракция, несмотря на то, что эти объективы имеют обычно зна­чительный диаметр (10 см и больше).

Наличие дифракции ставит предел возможности распознавать при помо­щи оптического инструмента дета­ли предмета. Пусть, например, мы рассматриваем в телескоп две звез­ды, расположенные на малом угловом расстоянии друг от друга (рис. 279). В случае совершенного телескопа мы должны были бы, согласно законам геометрической оптики, получить два четких, близко расположенных точеч­ных изображения. Дифракция же при­водит к тому, что вместо двух раздель­ных точек мы получаем картину в виде двух систем светлых и темных колец (рис. 279 снизу).

Если центры этих систем близко расположены (близкие по направле­нию звезды) и кольца не очень мелки (небольшой объектив трубы), то изображения накладывают­ся, давая картину, мало отличающуюся от системы колец, окружающих изображение одиночной звезды. По этой карти­не установить раздельное положение двух звезд становится невозможно: прибор не способен разделить две столь близкие звезды. Итак, способность оптического прибора к различе­нию деталей ограничена волновой природой света. Эту

Рис. 279. К понятию разрешающей силы те­лескопа; ОМ, ON— направления на две близкие звезды,  — угловое расстояние между звездами, LL — объектив телескопа. Внизу схематическое негативное изображе­ние

способность объектива принято называть его разрешающей силой. Объективы большего диаметра обладают большей разрешающей силой. Так, телескоп с диаметром объектива 12,5 см может разрешить две звезды, находящиеся на угло­вом расстоянии 1 с", а полуметровый объектив телескопа позволяет различать две звезды, отстоящие на 0,25". Таким образом, в большой телескоп можно иногда рассмотреть от­дельные близкие звезды (звездные скопления), которые для малого телескопа сливаются в общее светящееся пятно и неотличимы от туманностей. Этим объясняется стремле­ние строить телескопы с большими объективами. Другая причина указана в § 119.

Это ограничение в способности распознавания деталей относится и к человеческому глазу, диаметр зрачка которого около 2—4 мм. Поэтому глаз разрешает светящиеся точки, если угловое расстояние между ними около одной минуты *). Аналогичные соображения кладут предел и разрешающей силе микроскопа (§116), где также размер объектива огра­ничивает пучки, участвующие в построении изображения.

Разрешающую силу оптического прибора нельзя сме­шивать с его увеличением (см. § 102). Если увеличенное изо­бражение, полученное при помощи какого-нибудь оптиче­ского прибора, рассматривать при помощи другого оптиче­ского прибора, то увеличение можно сделать сколь угодно большим. Однако это не повысит разрешающую силу си­стемы инструментов. Действительно, изображение, полу­ченное при помощи первого инструмента, будет содержать только такие детали, которые могут появиться при его раз­решающей силе. Дальнейшее увеличение этого изображения, на котором отсутствуют более мелкие детали, конечно, не может их восстановить, а может лишь смазать некоторые де­тали первого изображения; следовательно, разрешающая сила всей совокупности инструментов не может быть боль­ше разрешающей силы худшего из них.

§ 135. Дифракционные решетки. Положение максимумов и минимумов, составляющих дифракционную картину, за­висит, как мы видели, от длины световой волны . Поэтому при наблюдениях в сложном свете, например в белом, где представлены различные длины волн, дифракционные мак­симумы для различных цветов окажутся на

*) На разрешающую способность глаза, задаваемую диаметром зрач­ка, влияет еще сложная структура сетчатой оболочки глаза. Эта структу­ра ограничивает разрешающую способность глаза угловым расстояни­ем также около 1' (при хорошей освещенности), разных местах, т. е. при явлении дифракции про­исходит разложение сложного света.

Практически наиболее интересный случай дифракции, где такое разложение играет важную роль, осуществляется с помощью так называемых дифракционных решеток.

Простейшая дифракционная решетка представляет собой пластинку, на которой чередуются узкие прозрачные и не­прозрачные полоски, параллельные между собой. Такую решетку можно, например, получить, нацарапав на стекле алмазом ряд штрихов и оставив неповрежденными узкие по­лоски стекла. Очень хорошие решетки получаются также,

Рис. 280. Действие дифракционной решетки: S — ярко освещенная щель, параллельная штрихам решетки, L₁ — линза, в фокальной пло­скости которой расположена щель, R — дифракционная решетка, L₂ — линза, дающая совместно с L₁ изображение S на экране М, S₀ — изображение щели S с помощью неотклоненных лучей (макси­мум нулевого порядка), S₁, S'₁ — изображения щели S с помощью от­клоненных решеткой лучей (максимумы первого порядка), S₂, S'₂ — изображения щели S с помощью отклоненных решеткой лучей (мак­симумы второго порядка) и т. д.

если нанести царапины на поверхность металлического зер­кала. В этих решетках чередуются полоски, правильно от­ражающие свет, и царапины, разбрасывающие свет во все стороны. Такие решетки называются отражательными. Сумму ширины прозрачной (отражающей) и непрозрачной (рассеивающей) полоски принято называть периодом ре­шетки d. В лучших современных решетках наносят до 1800 штрихов на 1 мм, так что период решетки может быть около 0,8 мкм.

Направим на решетку перпендикулярно к ее поверхности пучок параллельных лучей. Для этого можно ярко осветить узкую щель S, расположенную в фокальной плоскости со­бирающей линзы L₁ (рис. 280). Свет, проходя через узкие прозрачные полоски решетки RR, испытывает дифракцию, отклоняясь в стороны от своего первоначального направле­ния. При помощи второй линзы L₂ получим на экране М изображение щели S. Так как вследствие дифракции лучи от решетки падают на линзу L₂ по разным направ­лениям, то изображения щели S должны расположить­ся в разных местах экрана. Однако благодаря вза­имной интерференции отклоненных пучков некоторые из этих изображений будут отсутствовать (минимумы), а дру­гие будут особенно сильны (максимумы S₀, S₁, S'₁, S₂, S'₂...).

Рис. 281. К теории дифракционной решетки

Результат такой интерференции можно рассчитать, поль­зуясь рис. 281, где изображены несколько рядом располо­женных прозрачных участков решетки. Предположим, что на решетку падает монохроматический свет длины волны . Пусть фронт падающей волны совпадает с АВ (плоскостью решетки), т. е. свет падает перпендикулярно к решетке. В результате дифракции света на выходе из решетки будут наблюдаться световые волны, распространяющиеся по все­возможным направлениям. Рассмотрим волны, распростра­няющиеся от решетки по направлению, составляющему угол  с нормалью к плоскости решетки. Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, на­пример от правых краев (точки А, A₁, A₂, А₃, . . .), от ле­вых краев (точки B₁, B₂, B₃, B₄ . . .) или от середин отвер­стий и т. д., имеют, конечно, одно и то же значение. Эти разности равны

где d=AA₁=A₁A₂=A₂A₃ есть период решетки. Для того чтобы все пучки усиливали друг друга, не­обходимо, чтобы dsin равнялось целому числу длин волн , т. е.

(135.1)

где n —целое число. Таким образом, условие (135.1) есть ус­ловие взаимного усиления всех пучков, прошедших через отверстия решетки. Это условие позволяет определить те значения угла , т. е. те направления, по которым будут наблюдаться максимумы света длины волны . Эти углы най­дем из формулы

(135.2)

давая n различные целые значения: 0, ±1, ±2, ±3 и т. д.