Тема 2. Вращение вокруг неподвижной оси

Движение, при котором две точки твердого тела остаются неизменными называется вращатель­ным, а прямая линия, соединяющая эти две точки - о с ь ю вращения.

Вращательное движение в технике встречается очень часто (валы, зуб­чатые колеса, шкивы, кривошипы и т.п.). Понятие вращательного движения относится только к телу, но не к точке, например, движение точки по окруж­ности есть не вращательное, а криволинейное движение.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плос­кости чертежа (рис. 1). Точка О - след этой оси. Траектории точек есть окружности различных радиусов.

Пусть за время t диск повернулся на угол φ. При этом точка А прошла путь S_A, а точка В - путь S_В- Так как точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути,

следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные скорость и ускорение не могут характеризовать вращательное движение тела в целом. Вращательное движение характеризуется углом φ, на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол назы­вается углом поворота тела. Угол поворота выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угол поворота обозначается N. Между φ и N имеется следующая зависимость: φ = 2πN, рад,

где N— число оборотов тела.

Угол поворота тела есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в общем виде запишется следующим обра­зом: φ = f(t)

Из рисунка видно, что путь любой точки вращающегося тела будет S = r *φ,

где г - расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки.

Скорость любой точки тела запишется так: V= dS / dt = d(rφ) / dt

Tак как расстояние r есть величина постоянная, то ее можно вынести за знак производной, т.е. V= r* dφ / dt

Выражение dφ / dt называется угловой скоростью и обозначается ω.

Таким образом, угловая скорость равна первой производной угла пово­рота по времени.

Единицей измерения угловой скорости является:

[ω] = [φ] / [t] pадиан в секунду = рад/с

Скорость вращения выражается в оборотах в минуту, обозначается бу­квой п и называется частотой вращения. Существует связь между угло­вой скоростью и частотой вращения п, которая записывается следующим образом: ω= 2πп / 60 = πп / 30

Линейная скорость любой точки вращающегося тела запишется сле­дующим образом:

V=ω r , т.е. в каждый момент времени скорость точки прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек будет представлять треугольник (рис.1). Вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения (например, скорость точки Bi). Если точка лежит на поверхности врашающегося тела, то ее скорость называется окружной.

Подставив в формулу линейной скорости точек тела значение угловой скорости, получим:

V = π n r / 30= nr / 9.55 = 2πnD/ 60= nD/ 19.1

Пример 1. Определить время обточки вала диаметром d = 180 мм и длиной l = 1000 мм при условии обточки за один проход резца. Подача резца за один оборот вала S_ob. = 0,5 мм/об., а скорость резания V= 135 м/мин.

Решение. 1. Определяем угловую скорость ω и частоту вращения вала п.

ω = V / r = 135 / (0.09 * 60) = 25 c ^-1

n= 30 ω / π= 30*25/ 3.14= 238.8 мин^-1

2. Определяем подачу резца в минуту:

S_мин= = S _об * п = 0,5 ■ 10"³ • 238,8 = 0,119 м/мин.

3. Определяем машинное время, необходимое для обточки вала:

t = l / S _min = 1.0 / 0.119 = 8.4min

Решить задачу: Определить время изготовления вала катка ГВК-1.4 диаметром 60 мм и длиной 1600 мм. Подача резца токарного станка за один оборот вала составляет 0.6 мм/об, а скорость резания металла V=109 м / мин.