2. Разложим силу тяжести g на две составляющие g1 и g2 перпендикулярно и параллельно наклонной плоскости и применим закон изменения количества энергии:

mV₂ - mV₁ = Σ (P ₁ * t).

3. Проектируя данное векторное уравнение на наклонную плоскость, получим:

mV₂-mV_l=G₂*t –T*t.

1. Применяя основной закон трения, находим составляющую G₂ и силу трения Т, т.е.

G₂=G sina; T = f G cosa.

5.Подставляя найденные значения G₂ T и учитывая, что V_t = 0, получим :

m V₂ = G sin 30° • t - 0,25 • G cos 30° • t = 0.28 G t.

6. Решая данное уравнение относительно времени t и учитывая, что т = G / g , получим:

t = (V₂-G) / g *0.28 G = 13.9 / 9.81 * 0.28 =5 c.

Закон изменения кинетической энергии.

Известно, что в случае действия на материальную точку массой т постоянной силой Р, она имеет постоянное ускорение а = А / т и ее движение будет равноускоренным.

Если направление движения совпадает с направлением силы Р (Рис 41) , точка переместится из положения С₁ в положение С_{2 .}

Тогда ускорение на пути S за время будет:

а = (V₁ – V₂ ) / t

Перемещение S за этот же промежуток времени можно записать так:

S= (V₁ – V₂ )* t / 2:

Работа силы Р в этом случае будет иметь вид:

А= Р *S = P (V₁ – V₂ )* t / 2;

Выражая силу Р через основной закон динамики Р = та и подставляя в выражение работы значение ускорения а, получим:

А = т а s = m*(V₂ – V₁ )/ t - (V₂ V₁ ) * t / 2 =m (V₂ ² – V₁² ) / 2= (m * V₂²) / 2 - (m* V²₁ ) / 2

т.е. А = (m * V₂²) / 2 - (m* V₁ ² ) / 2

Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной на том же пути.

Для твердого тела, состоящего из системы материальных точек, закон изменения кинетической энергии примет аналитический вид:

Е₂ – Е₁ = Σ А_п ,

Следовательно, изменение кинетической энергии твердого тела равно сумме работ сил, действующих на это тело.

IV. Сопротивление материалов

Тема 1. Расчетно-графическая работа по сопротивлению материалов

Раздел сопротивления материалов состоит из проведении проектного расчета вала при кру­чении и расчетно-графических работ.

Эти знания необходимы специалистам для анализа работы той или иной машины, находящейся в эксплуатации и для выпол­нения расчетов при проектировании новых конструкций и модернизации техники.

1. Расчет вала при кручении

Расчет вала при кручении выполняется следующем образом:

-строят расчетную схему вала;

-разбивают схему на силовые установки;

-определяют методом сечений величину крутящих моментов на ка­ждом силовом участке;

-строят по результатам расчета эпюру крутящих моментов;

-определяют диаметр вала на условия прочности кручения;

-строят расчетную схему для углов закручивания;

-определяют методом сечений величину углов закручивания на каж­дом силовом участке;

-строят по результатам расчета эпюру углов закручивания;

-вычисляют максимальный относительный угол закручивания и про­веряют жесткость вала

Задание:

Для заданной схемы нагружения круглого стального вала требуется:

построить эпюру крутящих моментов;

подобрать диаметр вала из условия прочности при кручении;

построить эпюру углов закручивания и прове­рить жесткость вала.

Пример выполнения задания:

Задача: для заданной схемы нагружения круглого стального вала требуется: (рис. 1) построить эпюру крутящих моментов;

подобрать диаметр вала из условия прочности при кручении;

построить эпюру углов закручивания и проверить жесткость вала.

Эпюра — это схематический чертёж или график

L₁ =0,6m L₂ = 0.5 m L₃ = 0.4 m

M₁ = 0.6 кНм М₂ = 0.9 кНм М₃ = 0.4 кНм

[τ] = 100 МПа [θ] =4 ° /m

Решение:

1. Строим схему вала.

Данный вал имеет три разных по величине силовых участка М₁ М ₂ М₃.

2. Строим методом сечения эпюру крутящихся моментов:

1 участок 0 < х₁ < L₃ = 0.4 м; М₁ = М₁ = 0.6 кНм , сопst по L₃ ;

2 участок 0 < х₂ < L₂ = 0.5 м; М_П = М₁ – M₂ = 0.6 – 0.9 = - 0.3 кНм , сопst по L₂ ;

3 участок 0 < х₃ < L₁ = 0.6 м; М_Ш = М₁ - М₂ – М₃= 0.6–0.9–0.4 = -0.7 кНм, сопst по L_1.

3. Определяем диаметр вала из условия прочности:

τ_max= max M_k / W _p < [r]

max M_k = [Mm] = 0.7 кНм( опасные сечения на первом силовом участке). Wp = 0.2 d²

--------------------

Пусть τ _max = [ τ], тогда τ _max = max M_k / 0.2 d² < [τ], d = √ max M_k / 0.2[τ] =

√ (0.7* 10³) / 0.2*100 *10⁶ = 0.03327 m =32.7 m

По ГОСТу 6636-69 имеем два ближайших размера d₁ =32 мм и d₂ = 34 мм.

Проверяем возможность применения меньшего диаметра (32 мм).

τ₁ = max M_k / 0.2 d² = (0.7* 10³) / 0.2*3.2 *10⁶ = 109.4 МПа >[τ] = 100 МПа

перегрузка в этом случае составит:

k₁ = (τ₁ - [τ]) / [τ] *100 = (109.4 – 100)* 100 / 100 =9.4 % > 5%

Такая нагрузка не допускается, поэтому принимаем диаметр вала равной 34 мм.

4. Строим расчетную схему и эпюру углов закручивания.

Расчет углов ведем с сечения вала в заделке, в котором угол закручивания равна нулю.

φ_х = [M_k x / G J_p ] * [180*π] = [8*10⁴ * 10⁶ * 0.1 * 0.0034⁴ * 3.14] / 180 =186.5 H*m² / ° , тогда φ_х = М_к * х / 186.5

3 участок: 0 < х₃ < L₁ = 0.6 м φ_х3 = М₁₁₁* х₃ / 186.5

При х ₃ = 0 , φ_х3 = 0;

При х₃= L₁ φ_х3 = М₁₁₁ * L₁ / 186.5= (-0.7 * 10³ * 0.6) / 186.5 = - 2.25°

2 участок: 0 < х₂ < L₂ = 0.5 м φ_х2 = φ_x3 + М₁₁ * х₂ / 186.5

При х ₃ = 0 , φ_х2 = φ_х3 = -2.25° ;

При х₂= L₂ φ_х2 = φ_х3 + М₁₁ * L₂ / 186.5= -2.25 + (-0.3 * 10³ * 0.5) / 186.5 = - 3.05°

1 участок: 0 < х₁ < L₃ = 0.4 м φ_х1 = φ_x2 + М₁ * х₁ / 186.5

При х ₃ = 0 , φ_х1 = φ_х2 = -3.05° ;

При х₁= L₃ φ_х1 = φ_х2 + М₁ * L₃ / 186.5= -3.05 + (-0.6 * 10³ * 0.4) / 186.5 = - 1.763°

5. Проверяем жесткость вала:

Θ_max = (max M_x /_/G * J_p) * (180 / π) = max M_x / 186.5 = 0.7*10 ³ / 186.5 = 3.75 °/ м.

Условия жесткости выполняется.

Задание на дом: выполнить расчетно-графическую работу по 2 вариантам.

Порядок выполнения расчетно-графической работы и ее оформление.

Работа состоит из условия задачи, схемы (приложение стр.121) и исходных данных.

Вари­анты схем и исходные данные назначаются студенту преподавателем.

Работы должны быть выполнены полностью в соответствии с заданными ус­ловиями.

Расчетно-графические работы оформляются на листах формата А4. Титульный лист приведен в приложении методички (Евсеев А.Н., Носов Е.Н. стр. 120) Записи ведутся черными или фиолетовыми (синими) чернилами (пастой), чертежи и графики выполня­ются карандашом (ручкой). На всех страницах оставлять поля шириной не менее 30 мм.

Чертежи и графики к условию и решению задачи выполняются акку­ратно, четко, с обозначением необходимых размеров. При построении графиков (эпюр) должен строго соблюдаться выбранный масштаб: значе­ния характерных ординат указываются на графике.

Решение задачи следует вести по этапам, при этом содержание этапа указывается в виде подзаголовка, а само решение сопровождается кратки­ми пояснениями (по образцу выше приведенной задачи).

Расчет, по возможности, следует выполнять до конца в общем виде, и лишь затем, в окончательный результат подставлять числовые данные. При этом все величины должны измеряться в единицах СИ.

Исходные данные к задаче: расчет вала при кручении

№	L1, м	L2, м	L3 м	M1 кНм	М 2 кНм	М 3 кНм	[τ] МПа	[θ] ° / м
1	0,5	1	1,5	20	20	10	65	1,5
2	0,5	1,5	1	20	10	20	70	1,6
3	1	0,5	1,5	10	20	20	75	1,7
4	1,5	1	0,5	20	10	10	80	1,8
5	1	1,5	0,5	10	20	10	85	1,9
6	1,5	0,5	1	10	10	20	90	2,0
7	1	1	0,5	30	20	10	95	1,5
8	1	0,5	1	30	10	20	100	1,6
9	0,5	1	1	20	30	10	80	1,7
10	0,5	1	0,5	20	10	30	85	1,8
11	0,5	0,5	1	10	30	20	90	1,9
12	1	0,5	0,5	10	20	30	95	2,0