Тема 2. Центр тяжести

Центр параллельных сил и его координаты. Любое тело можно рассматривать как состоящее из элементарных частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиу­су. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ни­чтожно малы по сравнению с радиусом Земли (около 6371 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и верти­кальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют сис­тему параллельных сил. Равнодействующая этих сил называется силой тяжести.

Установим одно важное свойство точки приложения равнодействую­щих двух параллельных сил (Рис. 1).

Пусть в точках А и В (рис. 1) на тело действуют параллельные силы Р и Q . Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую АВ на части, об­ратно пропорциональные этим силам, т.е.

AC / ВС = Q / P

Повернем силы Р и Q на произвольный угол а, т.е.

изменим их направление, сохранив их параллельность. При этом равнодействующая R останется равной их сумме, параллельной им, направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно пропорциональные величинам задан­ных сил Р и Q. Точкой С обозначено пересечение линии действия равнодей­ствующей с линией АВ, соединяющих точки приложения составляющих сил. Эта точка называется центром параллельных сил, т.е. положение не зависит от направления прилагаемых сил. Центр параллельных сил тяжести , действующих на все элементарные частицы тела, называется центром тяжести тела. Так как центр парал­лельных сил остается неизменным независимо от направления сил, то центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела. Выведем формулы, позволяющие определять положение центра любой системы параллельных сил.

Пусть задана система параллельных сил Р₁, Р₂, Р₃...,Р_n; координаты то­чек С₁, С₂, С₃...,С_п приложения этих сил известны (рис. 2). Обозначим точ­ку приложения равнодействующей R буквой С, а координаты этой точки, являющейся центром заданных параллельных сил, обозначим х_с и у_с (Рис. 2).

Как известно: R = Р₁ + Р₂, + Р₃...+Р_n;= ΣР_i

Если среди заданных параллельных сил имеются силы противополож­ных направлений, то они будут иметь различные знаки. Так как положение центра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол а по часовой стрелке так, чтобы они стали параллельны оси у. Равно­действующая R при этом также повернется на угол а в ту же сторону. Применяя теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) относи­тельно начала координат, получим:

Rx _c = Р₁ x₁ + Р₂ x₂ + Р₃ x₃ . +Р_n x_n;= ΣР_i x_{i ,} откуда

Приведенные формулы используют при вычислении координат центра тяжести тела, причем под P_i подразумеваются силы тяжести отдельных час­тей тела, а под х_c, у_с, z_ci - координаты их центров тяжести.

Центр тяжести симметричного тела лежит в плоскости симметрии. Плоскостью симметрии называется плоскость, разделяющая тело так, что каждой материальной точке, находящейся по одну сторону плоскости, соответствует равная ей по массе точка по другую сторону, причем линия, соединяющая эти точки, перпендикулярна плоскости симметрии и делится ею пополам. На этом основании центр тяжести отрезка прямой линии нахо­дится в его середине. Центр тяжести плоской симметричной фигуры - тонкой однородной пластинки - лежит на оси симметрии, т.е. на линии уу, делящей фигуру на две равных части (рис. 3).

Наличие осей симметрии в однородном теле облегчает определение положения его центра тяжести. Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром.

Центр тяжести пирамиды лежит на прямой, соединяющий центр тяжести площади основа­ния с противоположной вершиной, на расстоянии '/₄ высоты от ее основания (рис. 4,а).

Центр тяжести конуса лежит на прямой, соединяющий центр основания с вершиной, на расстоянии '/₄ высоты от его основания (рис. 4, б).

Рис. 3. Рис. 4 (а, б).