Тема 2. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

При осевом растяжении и сжатии прочность бруса будет обеспечена, если для каждого поперечного сечения будет соблюдено условие:

σ= N / F < [σ]

С помощью этой формулы при расчете конструкций на прочность ре­шаются три вида задач:

1. Проектный расчет, при котором определяются размеры опасно­го сечения, рассчитывается по формуле:

F>N _max [σ]

2. Проверочный расчет, при котором определяется рабочее на­пряжение и сравнивается с допускаемым напряжением, рассчитывается по формуле:

σ= N / F <[σ]

Превышение расчетного напряжения, по сравнению с допускаемым, не должно быть выше 5%. В противном случае прочность рассчитываемой де­тали считается недостаточной.

3. Определение допускаемой нагрузки ведется по формуле:

[N]=[σ]F.

Определение допускаемой нагрузки также является проверочным рас­четом.

Пример. К заданному ступенчатому стержню круглого сечения, из­готовленного из стали Ст 3 (рис. 1, а) приложены силы Р₁= 90 кН; Р₂= 140 кН; Р₃ = 110 кН.

Площадь поперечного сечения F = 5 см²; длина l = 1 м; допускаемое напряжение материала стержня [σ] = 157 Н/мм²; модуль упругости Е = 2*10⁵ Н/мм².

Требуется: 1) построить эпюры продольных сил и нормальных напряже­ний;

2) проверить стержень на прочность;

3) в случае перенапряжений определить сечение стержня;

4) рассчитать общее удлинение стержня.

Решение.

1. Разбиваем стержень на участки по границам сил и измене­ния размеров поперечного сечения. Имеем пять разных участков.

2. Используя метод сечений и отбрасывая левые части стержня, опре­деляем продольные силы без определения опорных реакций.

Проводим сечение в пределах участка I и из условий равновесия опре­деляем продольную силу N₁, т.е.

P₁ – N ₁ = 0

Откуда N_} = Р₁ = 90 кН.

Аналогично для участка II

N₂=P_l =90 кН.

На участках I и II стержень растянут.

Проводим сечения на III и IV участках и находим продольные силы N₃ и N₄:

P₁ - P₂ - N₃ = 0, откуда N₃ = Р₁ -Р₂ = 90 - 140 = -50 кН.

Р₁ - Р₂ – N₄= 0, откуда N₄ = P₁ - Р₂ = 90 - 140 = -50 кН.

На участках III и IV стержень сжат. Для участка V имеем:

Р₁ – Р₂ + Р₃ - N₅ = Р₁ - Р₂ + Р₃ =90-140 + 110 = 60 кН.

На V участке стержень растянут.

3. По найденным значениям строим эпюры поперечных сил (рис.1, б).

4. Определяем нормальные напряжения для каждого участка.

Участок I. Площадь сечения F₁ = 2F = 1000 мм²

σ₁ = N₁ / F₁ = 90000/ 1000= 90 H / мм²

Участок II. Площадь сечения F₂ = F = 500 мм²

σ₂ = N₂ / F₂ = 90000 / 500= 180 H / мм²

Участок III. Площадь сечения F₃ = F = 500 мм²

σ₃ = N₃ / F₃ = 50000/ 500= - 100 H / мм²

Участок IV. Площадь сечения F₄ = 1.6 F = 800 мм²

σ₄ = N₄ / F₄ = 50000 / 800= - 62.5 H / мм²

Участок V. Площадь сечения F₄ = 1.6 F = 800 мм²

σ₅ = N₅ / F₅ = 60000 / 800= 75 H / мм²

3. По найденным значениям строим эпюры напряжений (рис. 1в).

3. Анализируя эпюры напряжений видим, что на участке II имеет место перенапряжение т.е. σ₂ > [σ] перенапряжение равно:

(180 – 157) /157 = 0.146 = 14.6 %.

3. Поскольку перенапряжение более 5 % следовательно, необходимо увеличить площадь поперечного сечения на участке II.

Площадь находим из условия:

F> N _max / [ σ ]= 90000 / 157 = 573.2 мм²

откуда находим диаметр стержня:

F= π d² / 4; d = √ 4F / π = √4*573.2 / 3.14 = 27.02 мм.

Округляя, принимаем d= 30мм.

Исходя из найденного диаметра, находим площадь сечения стержня на участке II.

3. Находим общее удаление стержня δ:

δ= ΣN_i I_i / E_i F_i = N₁ I₁ / E F₁ + N₂ I₂ / E F₂ + N₃ I₃ / E F₃ + N₄ I₄ / E F₄ + N₅ I₅ / E F₅=

1 / 2*10 ⁵ [(90 * 10 ³* 2.5*10³/ 10*10 ²)+(90 * 10³* 1 *10³) – (50*10 ³* 1* 10³ / 5*10 ²) –

(5*10²* 1.5*10 ³ / 8 10 ² )+ (60*10 ³*0.5 10 ³ / 8* 10²) = 0.981 мм.