Тема 3. Определение геометрических характеристик поперечных сечений.

Прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций во многом определяется формой и размерами их поперечных сечений. В рас­четной практике используются так называемые геометрические характери­стики сечений.

Площадь сечений является одной из геометрических характеристик, используемых главным образом в расчетах на растяжение и сжатие. Ста­тический момент площади сечения и координаты центра тяжести также являются геометрическими характеристиками сечений. Они используются при расчетах на устойчивость. Более сложные геометрические характери­стики: моменты инерции, моменты сопротивления и др. используются при расчетах на кручение, изгиб.

Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и со­оружений.

1.4.1. Площадь плоских сечений (фигур)

Площадь, ограниченная произвольной кривой: F= ∫ dF (1.7)

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на п простейших час­тей. В этом случае

F= ΣF₁ (1.8)

1.4.2. Статические моменты площади сечения. Центр тяжести сечения

Статическими моментами площади сечения относительно осей Z и Y, лежащих в плоскости этой фигуры, называются геометрическими ха­рактеристиками, определяемые по формулам:

S₁ =∫ y d F_t S_z = ∫ z d F. (1.9)

F F

Из формул (1.9) и (1.10) следует, что статический момент площади плоской фигуры (сечения) относительно любой оси равен нулю. Обратное положение также справедливо: если статический момент сечения относи­тельно какой-либо оси равен нулю, то эта ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения С.

В зависимости от положения сечения относительно осей координат статический момент может быть положительным, отрицательным или рав­ным нулю.

Из (1.9) и (1.10) могут быть определены координаты центра тяжести фигуры

z_c= S _y / F y_c = S_z / F (1.10)

Для вычисления статических моментов сложной фигуры её разбива­ют на простейшие части, для каждой из которых известны площадь F, и положение центра тяжести (z_i; y_c). Статические моменты всей фигуры от­носительно осей z и у соответственно будут равны

S_z = F₁ y₁ + F₂ y₂ + F₃ y₃ +…..+ F_n y_n= Σ (F₁ y₁ ) (1.11)

S _y = F₁ z₁ + F₂ z₂ + F₃ z₃ +…..+ F_n z_n= Σ (F₁ z₁ )

Координаты центра тяжести сложной фигуры определяются:

z_c = S _y / F = [Σ (F₁ z₁ )] / [ΣF_c ] (1.12)

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

Если сечение имеет две и более осей симметрии, то центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Пример выполнения работы

Задача: Определить статический момент прямоугольной пластины, ослабленной круглым вырезом, относительно оси z₂, и координату центра тяжести z_c (y_i ) (рис. 1).

Решение:

Площадь данного сечения F = F_l —F₂,

где F₁ — площадь прямоугольника, F₂ - площадь круга.

Статический момент S_z2 определяется следующим образом: S_Z2 = S_z2^np - S_z2 ^kp ,

где S_z2 ^kp - статический момент прямоугольного сечения относительно оси Z_1.

Задача: Выбрать каждому (ой) по 2 фигуры, ослабленные вырезом, и определить их статический момент и координаты центра тяжести сечения.