Тема 3. Кручение. Понятие о кручении и чистом сдвиге

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил моментом т. Так как на кручение работают валы машин и механизмов, имеющие кольцевое или круглое сечение, то рас­смотрим элемент abcd (рис. 1), вырезанный из тонкостенной трубы.

При возникновении касательных напряжений τ элемент перекашивает­ся и все прямые углы между гранями аb и dc изменятся на угол γ и они зай­мут положение аb₁ и dc₁ Угол γ изменения прямоугольного угла между гранями элементарного параллелепипеда называется углом сдвига. На этом основании можно заключить, что при кручении возникают деформации чистого сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого.

Угол сдвига γ и касательные напряжения τ связаны между собой прямой пропорциональностью, т.е. законом Гука:

τ = G γ

Угол сдвига называется относительным сдвигом, а величина G — модулем сдвига.

Модуль сдвига характеризует жесткость материала при деформации сдвига (кручения). Он измеряется в тех же величинах, что и модуль продоль­ной упругости Е, т.е. в Н/мм².

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G изотропных материалов существует зависимость: G = Е / 2(1+ μ)

где μ. - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

При проектировании валов приходится сталкиваться с расчетами на кручение. В этом случае обычно определяют величину крутящего момента т, действующего на вал, по мощности N, передаваемой валом, и его частоте вращения п по известной формуле:

т = 9.55 N / n

Величина крутящего момента, в случае передачи мощности несколь­ким рабочим машинам, не остается постоянной по длине вала. Характер рас­пределения крутящего момента по длине вала может быть представлен эпю­рой крутящих моментов.

Пусть шкив I (рис. 2, а) получает вращение от двигателя, а шкивы II, III и IV его к станкам. Направление момента т₁ противоположно направле­нию моментов т₂, т₃ т₄. При равномерном вращении вала, и пренебрегая трением в подшипниках, из условия равновесия получим: ΣМ _is = 0; - т₂ + т₁ + т₃ + т ₄ =0;

Величина крутящего момента изменяется в сечениях вала, где переда­ются внешние моменты от шкивов. Используя метод сечений, разделим вал на три участка и определим крутящие моменты на каждом из них. В любом поперечном сечении а - а участка I уравновешивает момент т₂, действующий на левую отсеченную часть, т.е. М _к1 = m₂

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия получим тот же результат:

М _к1 = m ₁ –т₃ - т₄= т₂

Аналогично вычисляется крутящий момент на участке II:

М _к2 = m ₂ –т₁ = - т₃ - т₄

а на участке Ш:

М _к3 = m ₂ –т_{1 +} т₃= - т₄

Таким образом, крутящий момент в любом поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к валу справа или слева от сечения.

Эпюру крутящих моментов (рис. 2,б) строят, откладывая от горизон­тали ОО ординаты, соответствующие величинам крутящих моментов в попе­речных сечениях соответствующих участков.

Крутящий момент считается положительным, если внешние мо­менты вращают отсеченную часть по направлению часовой стрелки, если смотреть со стороны проведенного сечения. Положительные ординаты от­кладываются вверх от линии ОО, называемой осью, а отрицательные - вниз.

П ример. От электродвигателя с помощью ремня на вал передается мощность N = 20 кВт, откуда она поступает к станкам мощностью N₁ = 15 кВт, N₂ = 2 кВт и N₃ = 3 кВт. Частота вращения вала п = 485 об/мин (рис. 1).

Определить крутящие моменты, построить эпюры крутящих моментов и определить диаметр вала из условий прочности и жесткости. Допускаемое касательное напряжение [τ_к]=25 Н/мм², допускаемый угол закручивания [θ] = 0,75 град/м, модуль сдвига G = 8- 10⁴Н/мм².

Решение. На вал поступает мощность N и снимаются мощности N₁ N ₂ N ₃

Определяем внешние скручивающие моменты т, т₁ m₂, m₃ (рис. 1 a),

m = 9.55 N / n =9.55 *20 * 10³ : 485 = 393.8 1 Hм

m₁ = 9.55 N₁ / n =9.55 *15 * 10³ : 485 = 295.36 Hм

m ₂= 9.55 N₂ / n =9.55 *2 * 10³ : 485 = 39.38 Hм

m ₃= 9.55 N ₃ / n =9.55 *3 * 10³ : 485 = 59.07 Hм

2. Разбиваем вал на участки I, II, III и находим крутящие моменты, пользуясь методом сечений и принимая за положительное значение момента, когда он направлен по ходу часовой стрелки:

М _к3 = т₃ = 59,1 Н • м; М_К1 =т₃+т₁= 59,1 + 295,4 = 354,5 Н м;

М_к2 = т₃+т₁ - т = 59,1 + 295,4 - 393,8 = -39,4 Н м.

3. Строим эпюру крутящих моментов (рис.3 б).

3. Диаметр вала на прочность определяем по расчетному крутящему моменту из условия прочности:

τ_max = M_{k max} / W _p = 1.6 M_{k max} / πd³ < [τ_k]

откуда

d> ³√ M_{k max} / π [τ_k] = ³√ (16*354.5*10³) / 3.14 * 25= 41.6 mm

Принимаем диаметр вала а = 42 мм.

5. Диаметр вала на жесткость определяем из условия жесткости:

Θ = 180 * M_{k max} / πGl_p= 180 M_{k max} * 32 / π ² G d⁴ < [θ]

Откуда

d >⁴√ 180*354.5 * 10 ³ * 32 *10 ³ / 3.14 * 8 * 10⁴ *0.75 =43.1 mm

Принимаем диаметр вала d = 44 мм.

6. Окончательно принимаем диаметр вала d = 44 мм.